【分析】
解题时先结合题干给出的配方结果思考：左边$(x+\frac{b}{2a})^2$是完全平方式，取值恒大于等于0，分母$4a^2$恒大于0，因此等式右边$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$的符号仅由分子$b^2-4ac$（即根的判别式$\Delta$）决定。再结合完全平方的取值范围推导根的三种情况：若右边为0，开方后只有1个结果，对应两个相等实根；若右边为正，开方后有两个互为相反数的结果，对应两个不等实根；若右边为负，完全平方不可能为负，对应无实根，依次对应判别式的三种符号情况即可。
【解析】
我们将$b^2-4ac$记作一元二次方程根的判别式，用符号$\Delta$表示。
由配方结果$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$可知：
左边为完全平方式，满足$(x+\frac{b}{2a})^2≥0$，又$4a^2＞0$，因此等式右边的符号仅由$\Delta=b^2-4ac$决定，即方程根的情况由$\Delta$决定：
1. 当$\Delta=0$时，右边$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$，即方程有两个相等的实数根；
2. 当$\Delta＞0$时，右边$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}＞0$，开平方可得两个不同的结果，即方程有两个不相等的实数根；
3. 当$\Delta＜0$时，右边$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}＜0$，而完全平方式不可能为负数，因此方程没有实数根。
因此四个空依次填$\Delta$，$\Delta=0$，$\Delta＞0$，$\Delta＜0$。
【答案】
$\Delta$,$\Delta=0$,$\Delta＞0$,$\Delta＜0$
【知识点】
根的判别式；配方法；根的情况判定
【点评】
本题是对一元二次方程根的判别式推导过程的基础考查，需要理解配方法的结果，掌握判别式的符号和方程根的三种情况的对应关系，牢记相关结论即可快速作答。
【难度系数】
0.85

【分析】
不解方程判别一元二次方程的根的情况，需用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，解题思路如下：首先确认每个方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找到带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；再将三个系数代入判别式计算结果；最后根据判别式的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 2x + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=2$，
代入判别式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1×2 = 4-8=-4＜0$，因此方程无实数根。
(2) 方程$2x^2 - 2x - 1 = 0$中，$a=2$，$b=-2$，$c=-1$，
代入判别式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×2×(-1) = 4+8=12＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
(3) 方程$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 = 0$中，$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$，$c=2$，
代入判别式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×\frac{1}{2}×2 = 4-4=0$，因此方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) $b^2 - 4ac=-4＜0$,方程无实数根
(2) $b^2 - 4ac=12＞0$,方程有两个不相等的实数根
(3) $b^2 - 4ac=0$,方程有两个相等的实数根
【知识点】
1. 根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确识别方程各项系数（注意正负号），熟练掌握判别式的计算方法以及不同取值对应的根的三种情况即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 题目明确给出是一元二次方程，首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即$m+1≠0$；其次方程恒有实数根，说明根的判别式$\Delta≥0$，我们先写出$\Delta$的表达式并解不等式，再结合二次项系数不为0的条件，即可得到m的取值范围。
(2) 先从(1)得到的m的取值范围中找出符合条件的最小整数，再将该m值代入原方程，选择合适的方法求解一元二次方程即可。
【解析】
(1) $\because$ 方程$(m+1)x^2+2mx+m-3=0$是一元二次方程，
$\therefore$ 二次项系数不为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
又$\because$ 方程恒有实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m+1$，$b=2m$，$c=m-3$，
代入得：$\Delta = (2m)^2 - 4(m+1)(m-3) ≥ 0$，
展开计算：$4m^2 - 4(m^2 - 2m - 3) ≥ 0$，
化简得$8m + 12 ≥ 0$，
解得$m ≥ -\frac{3}{2}$。
综上，m的取值范围是$m ≥ -\frac{3}{2}$且$m≠-1$。
(2) 由(1)可知m的取值范围为$m ≥ -\frac{3}{2}$且$m≠-1$，该范围内的整数有-1、0、1、2……，排除$m=-1$，可得m可取的最小整数为0。
将$m=0$代入原方程得：$x^2 - 3 = 0$，
移项得$x^2 = 3$，
解得$x = ±\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $m≥-\frac{3}{2}$且$m≠-1$
(2) $x=±\sqrt{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意题干明确给出方程是一元二次方程，不要遗漏二次项系数不为0的限制条件，求解方程时可根据方程形式选择简便的解法。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断一元二次方程实数根的个数与关系，可通过根的判别式求解。解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先准确提取方程中$a$、$b$、$c$的取值（注意带系数符号）；再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果；最后根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
方程$x^2 + 3x -1 =0$是一元二次方程，对应一般形式可得：$a=1$，$b=3$，$c=-1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13$
因为$\Delta=13＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
两，不相等
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题时要注意准确提取各系数的符号，避免代入计算时出错，牢记判别式取值对应的三种根的情况即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。我们先确定给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式公式列方程求解即可，注意开平方时正负两种情况都要考虑，不要漏解。
【解析】
已知关于x的方程$x^2 -kx +4=0$是一元二次方程，且有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
本题中，$a=1$，$b=-k$，$c=4$，代入判别式得：
$\Delta = (-k)^2 - 4×1×4 = k^2 - 16$
令$\Delta=0$，即$k^2 -16=0$，解得$k^2=16$，所以$k=\pm4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、平方根运算
【点评】
本题考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，属于基础常规题，解题时要注意参数开平方时正负解都要保留，避免漏解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程有实数根的判定条件：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有实数根。我们先确定题中方程的对应系数$a、b、c$，代入判别式得到关于$m$的不等式，解出$m$的取值范围后，在范围内任意选取一个数值即可。
【解析】
已知方程$x^2 - mx + 3 = 0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-m$，$c=3$。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$\Delta = b^2-4ac = (-m)^2 - 4×1×3 ≥ 0$
化简得：$m^2 ≥ 12$，只要$m$的取值满足该式即可，例如取$m=4$，此时$4^2=16≥12$，符合要求。
【答案】
答案不唯一，如$m=4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 不等式求解
【点评】
本题是基础类题目，主要考查一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，只需牢记判别式的取值和根的对应关系即可快速求解，答案不唯一，满足取值范围均正确。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值对应的根的情况，明确“有两个实数根”包含两个不相等的实数根、两个相等的实数根两种情况，对应判别式的取值范围即可选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，其取值与根的对应关系为：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
题目说明方程有两个实数根，包含“两个不相等的实数根”和“两个相等的实数根”两种情况，因此$\Delta = b^2-4ac≥0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确区分判别式不同取值对应的根的情况，注意不要忽略“两个相等的实数根”也属于有两个实数根的情况，避免误选B选项。
【难度系数】
0.8