【分析】
要解决这个问题，首先抓住“方程有两个实数根”这个核心条件：第一，只有一元二次方程才可能有两个实数根，因此二次项系数不能为0；第二，一元二次方程有两个实数根的前提是根的判别式大于等于0。我们需要分别根据这两个条件列出关于a的不等式，再取两个解集的公共部分，就能得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-5)x^2 -4x -1=0$有两个实数根
∴ 该方程为一元二次方程，首先满足二次项系数不为0：
$a-5≠0$，解得$a≠5$
其次，一元二次方程有两个实数根，根的判别式$\Delta≥0$，其中二次项系数为$a-5$，一次项系数为$-4$，常数项为$-1$：
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×(a-5)×(-1) = 16 + 4(a-5)$
令$\Delta≥0$：
$16 + 4(a-5)≥0$
$16 +4a -20≥0$
$4a -4≥0$
解得$a≥1$
综合两个条件，得$a≥1$且$a≠5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础常考题，易错点是容易忽略“两个实数根”隐含的方程为一元二次方程的条件，漏写$a≠5$的限制，解题时要注意将二次项系数非零和判别式的条件结合分析。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需借助一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断，解题步骤如下：①首先确认方程为一元二次方程（本题各方程二次项系数均不为0，满足要求）；②分别找出每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数需带对应符号；③将$a、b、c$代入$\Delta=b^2-4ac$计算结果；④根据结果的符号判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；对于含参数的第(4)题，计算判别式后代数化简，结合平方的非负性判断$\Delta$的符号即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
(1) 方程$x^2 + 3x - 2 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=-2$，
代入得$\Delta = 3^2 - 4×1×(-2) = 9 + 8 = 17＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(2) 方程$x^2 - 7x + 7 = 0$中，$a=1$，$b=-7$，$c=7$，
代入得$\Delta = (-7)^2 - 4×1×7 = 49 - 28 = 21＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(3) 方程$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=2$，
代入得$\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4×1×2 = 8 - 8 = 0$，
因此方程有两个相等的实数根。
(4) 方程$y^2 + (2k + 1)y + (k - 1) = 0$中，$a=1$，$b=2k+1$，$c=k-1$，
代入得$\Delta = (2k+1)^2 - 4×1×(k-1) = 4k^2 + 4k + 1 - 4k + 4 = 4k^2 + 5$，
∵ $4k^2≥0$，
∴ $4k^2+5≥5＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $b^2 - 4ac=17＞0$,方程有两个不相等的实数根
(2) $b^2 - 4ac=21＞0$,方程有两个不相等的实数根
(3) $b^2 - 4ac=0$,方程有两个相等的实数根
(4) $b^2 - 4ac=(2k+1)^2-4(k-1)=4k^2+5＞0$,方程有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 整式的运算
3. 非负数的性质
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确识别方程各项系数，正确计算判别式，含参数的判别式问题要注意通过化简结合非负性判断符号，掌握判别式的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
一元二次方程有两个相等实数根的核心判定条件是根的判别式$\Delta=0$。解题思路分为两步：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式得到关于$k$的方程，解出$k$的取值；第二步将得到的$k$值分别代入原方程，求解对应的相等实根即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$2x^2 - (k+2)x + 2k - 2 = 0$中，$a=2$，$b=-(k+2)$，$c=2k-2$，令$\Delta=0$，则：
$\begin{aligned}[-(k+2)]^2 - 4×2×(2k-2) &= 0\\k^2+4k+4 - 16k +16 &= 0\\k^2 -12k +20 &=0\\(k-10)(k-2)&=0\end{aligned}$
解得$k=10$或$k=2$。
①当$k=10$时，原方程化为$2x^2 -12x +18=0$，化简得$x^2-6x+9=0$，即$(x-3)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$；
②当$k=2$时，原方程化为$2x^2 -4x +2=0$，化简得$x^2-2x+1=0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$。
【答案】
当$k=10$时，$x_1=x_2=3$；当$k=2$时，$x_1=x_2=1$
【知识点】
根的判别式，解一元二次方程，因式分解法
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时要先利用判别式的取值规则求出参数，再回代求解方程的根，计算过程中要注意符号运算，避免展开判别式时出现符号错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题是含参数的一元二次方程根的情况问题，解题思路如下：①首先题目已经明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，先确定m的前提限制：m≠2；②一元二次方程根的个数由判别式Δ=b²-4ac决定，先代入对应系数计算Δ的化简结果；③分别根据“两个不相等实根对应Δ＞0、两个相等实根对应Δ=0、没有实根对应Δ＜0”列不等式或等式求解，最终结合前提限制得到m的取值范围。
【解析】
∵ 方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数$(m-2)^2≠0$，解得$m≠2$。
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=(m-2)^2$，$b=2m+1$，$c=1$：
$\begin{aligned}\Delta&=(2m+1)^2 - 4× (m-2)^2 × 1\\&=4m^2+4m+1 - 4(m^2-4m+4)\\&=4m^2+4m+1 -4m^2+16m-16\\&=20m-15\end{aligned}$
（1）当方程有两个不相等的实数根时，需满足$\Delta＞0$且$m≠2$：
$20m-15＞0$，解得$m＞\frac{3}{4}$，结合$m≠2$，得$m＞\frac{3}{4}$且$m≠2$。
（2）当方程有两个相等的实数根时，需满足$\Delta=0$且$m≠2$：
$20m-15=0$，解得$m=\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}≠2$，符合条件，故$m=\frac{3}{4}$。
（3）当方程没有实数根时，需满足$\Delta＜0$：
$20m-15＜0$，解得$m＜\frac{3}{4}$，此时$m＜\frac{3}{4}$必然满足$m≠2$，故$m＜\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $m＞\frac{3}{4}$且$m≠2$；(2) $m=\frac{3}{4}$；(3) $m＜\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的常规应用题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，尤其是求解两个不相等实根的情况时，要注意排除m=2的取值。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时首先确定给定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式化简，最后结合平方数的非负性判断化简后的结果恒大于0，即可证明结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - mx - 2 = 0$中，$a=1$，$b=-m$，$c=-2$，
代入判别式可得：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(-2) = m^2 + 8$
因为任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，
所以$m^2 + 8≥ 8 ＞ 0$，
因此不论$m$取何值，此方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
因为$b^2-4ac=m^2+8＞0$,所以方程有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题关键是准确识别方程的各项系数，正确计算判别式后结合非负数性质判断其符号即可，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.9