【分析】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系展开：活动一可通过对两个求根公式做和、做积运算，抵消或消去带根号的部分，推导得到根与系数的固定关系；活动二解题时首先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，确认方程有实根后，再将方程化为$ax^2+bx+c=0$的标准形式，直接用韦达定理计算两根和与两根积；活动三考查韦达定理的应用，已知一根求另一根和参数时，可先通过两根积求另一根，再通过两根和求参数，避免复杂计算；求代数式值时，将代数式变形为用$x_1+x_2$、$x_1x_2$表示的形式，整体代入求值即可。
【解析】
活动一
对两根做和、做积运算：
1. 两根之和：$x_1+x_2=(-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})+(-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=-\frac{b}{a}$，根号部分抵消，结果仅与$a、b$有关；
2. 两根之积：$x_1x_2=(-\frac{b}{2a})^2-(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})^2=\frac{c}{a}$，用平方差公式计算后结果仅与$a、c$有关。
特征：两根的和与积都不含根号，一元二次方程有实根时，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。
活动二
(1) 方程$x^2-5x+3=0$中$a=1,b=-5,c=3$：
判别式$\Delta=(-5)^2-4×1×3=13＞0$，方程有两个不相等的实数根；
由韦达定理得：$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
(2) 先将$2x^2+3x=1$化为标准形式$2x^2+3x-1=0$，其中$a=2,b=3,c=-1$：
判别式$\Delta=3^2-4×2×(-1)=17＞0$，方程有两个不相等的实数根；
由韦达定理得：$x_1+x_2=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
活动三
(1) 设方程另一根为$x_2$，方程$x^2+bx+2=0$中$a=1,c=2$：
由$x_1x_2=2$，代入$x_1=1+\sqrt{3}$得$x_2=\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$；
再由$x_1+x_2=-b$，得$(1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}=-b$，解得$b=-2\sqrt{3}$。
(2) 方程$x^2-3x-2=0$中，由韦达定理得$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-2$：
① $x_1x_2^2+x_1^2x_2=x_1x_2(x_1+x_2)=(-2)×3=-6$；
② $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{3^2-2×(-2)}{-2}=-\frac{13}{2}$。
【答案】
活动一 略
活动二 （1）Δ=13＞0,原方程有两个不相等的实数根,所以$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=3$
（2）Δ=17＞0,原方程有两个不相等的实数根,所以$x_1+x_2=-\frac{3}{2},x_1x_2=-\frac{1}{2}$
活动三 （1）另一个根为$\sqrt{3}-1,b=-2\sqrt{3}$
（2）$-6,-\frac{13}{2}$
【知识点】
1. 根的判别式 2. 韦达定理 3. 代数式变形
【点评】
本题从韦达定理的推导出发，逐步考查判别式判断实根、韦达定理基础计算和变形应用，侧重对整体代入思想的考查，解题时需注意使用韦达定理前要先确认方程有实根，代数式变形要准确。
【难度系数】
0.7