【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的直接应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根和、两根积与系数的对应公式；然后准确提取题干方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，注意要带符号；最后代入公式计算结果，匹配选项即可得到答案。
【解析】
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根$x_1、x_2$，则根与系数的关系为：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}$
题干给出的方程为$2x^2 -7x +4=0$，对应可得$a=2$，$b=-7$，$c=4$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-7)}{2}=\frac{7}{2}$
$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数关系
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查韦达定理的直接使用，解题时的易错点是容易忽略一次项系数的负号，导致两根和计算错误，准确识别方程各项系数、牢记公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断哪个方程的根是$-\dfrac{1}{2}$和$\dfrac{1}{2}$，有两种常用思路：第一种是代入验证法，把两个根分别代入各个选项的方程，看左右两边是否相等，都相等的即为正确选项；第二种是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先算出已知两根的和与积，再对比各选项方程对应系数的关系，匹配的即为正确选项。
【解析】
方法一：代入验证法
将$x=\dfrac{1}{2}$和$x=-\dfrac{1}{2}$分别代入各选项：
选项A：当$x=\dfrac{1}{2}$时，左边$=(\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1≠0$，不符合要求，排除；
选项B：当$x=\dfrac{1}{2}$时，左边$=4×(\dfrac{1}{2})^2-1=0$；当$x=-\dfrac{1}{2}$时，左边$=4×(-\dfrac{1}{2})^2-1=0$，两个根都满足方程，符合要求；
选项C：当$x=\dfrac{1}{2}$时，左边$=2×(\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2}+1=2≠0$，不符合要求，排除；
选项D：当$x=\dfrac{1}{2}$时，左边$=4×(\dfrac{1}{2})^2+1=2≠0$，不符合要求，排除。
方法二：根与系数关系法
设方程两根为$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=\dfrac{1}{2}$，则：
两根之和$x_1+x_2=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0$，两根之积$x_1x_2=-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，满足$-\dfrac{b}{a}=0$，$\dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{4}$，即$b=0$，$a=-4c$。
对比选项：
A、C选项一次项系数不为0，直接排除；
B选项$4x^2-1=0$中，$a=4$，$c=-1$，满足$a=-4c$，符合要求；
D选项$4x^2+1=0$中，$a=4$，$c=1$，不满足$a=-4c$，排除。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题型，两种解题方法都较为常用，代入法直观易懂，韦达定理可以更快速排除错误选项，熟练掌握两种方法能提升解题效率。
【难度系数】
0.8

【分析】
这两道小题均考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用：
1. 第（1）题：首先需要将给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a、b、c$的值后，再代入韦达定理公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1· x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
2. 第（2）题：已知方程的两个根，直接利用韦达定理，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数，代入计算即可求出$m、n$的值。
【解析】
（1）先将方程$x(x-1)=2$整理为一般形式：
展开得$x^2 - x = 2$，移项得$x^2 - x - 2 = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$，
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$，
$x_1· x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$。
（2）已知方程$x^2 - mx + n = 0$的两根为$2+\sqrt{3}$和$2-\sqrt{3}$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-m$，常数项$c=n$，
根据韦达定理：
两根和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$，
两根积$x_1· x_2=\frac{c}{a}=n=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$。
【答案】
（1）1，−2 （2）4，1
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程一般形式
3. 平方差公式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的核心是牢记韦达定理的公式，注意使用韦达定理前需先将方程化为一般形式，计算过程中注意符号和公式的正确使用，整体难度较低。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决这类问题需按照固定思路逐步推导：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确确定系数$a、b、c$的取值；②计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断实根情况：$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若方程有实根，直接根据根与系数的关系代入计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2+3x=0$为一元二次方程一般形式，其中$a=2$，$b=3$，$c=0$。
判别式$\Delta = 3^2-4×2×0=9＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}=\frac{0}{2}=0$。
(2) 先将方程整理为一般形式：移项得$3x^2-2x-2=0$，其中$a=3$，$b=-2$，$c=-2$。
判别式$\Delta = (-2)^2-4×3×(-2)=4+24=28＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-2)}{3}=\frac{2}{3}$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\Delta=9＞0$，原方程有两个不相等的实数根，$x_1+x_2=-\frac{3}{2}$，$x_1·x_2=0$
(2) $\Delta=28＞0$，原方程有两个不相等的实数根，$x_1+x_2=\frac{2}{3}$，$x_1·x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础考点题，解题核心是先将方程化为一般形式，确定系数时要特别注意符号，避免因符号看错导致计算错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题属于一元二次方程根与系数关系的基础应用题，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根$x_1、x_2$满足韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；我们已知其中一个根为1，设另一个根为$x_2$，先通过两根之和的公式求出未知根，再通过两根之积的公式求出参数$m$即可，该方法无需解方程，计算更简便。也可以先将已知根代入原方程求出$m$，再解方程求另一根，两种方法可互相验证。
【解析】
设方程$3x^2 -19x + m =0$的另一个根为$x_2$，已知其中一个根$x_1=1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系：
1. 求另一根：
两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，本题中$a=3,b=-19$，代入得：
$1 + x_2 = \frac{19}{3}$
解得$x_2=\frac{19}{3}-1=\frac{16}{3}$
2. 求$m$的值：
两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中$c=m$，代入得：
$1×\frac{16}{3}=\frac{m}{3}$
两边同乘3得$m=16$
（验证：把$x=1$代入原方程得$3-19+m=0$，解得$m=16$，再解方程$3x^2-19x+16=0$，因式分解得$(x-1)(3x-16)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{16}{3}$，结果一致）
【答案】
另一个根为$\frac{16}{3}$，$m=16$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是根与系数关系的常规基础题，熟练掌握韦达定理可快速求解未知根和参数，建议解题时用两种方法交叉验证，降低计算错误概率。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值，可先对该代数式通分化简，得到其等价于$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，此时只需根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出方程两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，代入化简后的式子即可计算出结果，该方法无需解方程求根，计算更简便。
【解析】
已知一元二次方程$2x^2 - 3x +1=0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$。
根据根与系数的关系，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$代入得：
原式$=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是先将所求代数式变形为仅含两根之和、两根之积的形式，再代入韦达定理的结论计算即可，熟练掌握韦达定理能大幅降低这类代数式求值题的计算量。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先观察所求代数式包含a的二次项，已知a是一元二次方程的根，可根据一元二次方程根的定义得到a满足的等式，将a²用含a的一次式表示实现降次；降次后的代数式含有a和b两个未知数，结合a、b是方程两根，可利用根与系数的关系求出a+b的值，整体代入化简后的代数式即可计算出结果，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：
∵a是一元二次方程$x^2 + 3x -5=0$的根，将x=a代入方程得：
$a^2 + 3a -5 = 0$，变形可得$a^2 = -3a +5$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 + 3x -5=0$的两根a、b满足：
$a + b = -3$。
将$a^2 = -3a +5$代入代数式$a^2 +2a -b +3$得：
$\begin{aligned}a^2 +2a -b +3 &= -3a +5 +2a -b +3 \\&= -a -b +8 \\&= -(a+b) +8\end{aligned}$
再将$a+b=-3$代入上式：
原式$=-(-3) +8 = 3+8 =11$
【答案】
$\boldsymbol{11}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础综合题，解题核心是利用根的定义对二次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了求解方程根的复杂运算，是此类代数式求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ≥0时方程有实数根，因此先写出判别式的表达式，解不等式即可求出m的取值范围；
（2）题目给出两根的关系式，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，代入不等式求解m的范围，再结合（1）中得到的m的取值范围，取两个范围的交集即为最终结果。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 -6x + (2m +1)=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=2m+1$，
代入得：$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+1) ≥ 0$，
计算得：$36 - 8m -4 ≥ 0$，
化简得：$32 - 8m ≥ 0$，
解得：$m ≤ 4$。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，若方程两根为$x_1,x_2$，则：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 6$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2m+1$，
将其代入$2x_1x_2 +x_1 +x_2 ≥20$得：
$2(2m+1) + 6 ≥ 20$，
展开计算左边：$4m + 2 +6 = 4m +8 ≥20$，
移项化简得：$4m ≥ 12$，解得$m ≥3$，
又由（1）知$m ≤4$，
∴ m的取值范围为$3 ≤ m ≤ 4$。
【答案】
（1）$m ≤ 4$；（2）$3 ≤ m ≤ 4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，解题时要注意第二问求得的m范围需要结合第一问中方程有实根的限制条件，避免因忽略取值范围的限制导致结果错误。
【难度系数】
0.75