22. (12分)骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量,该品牌头盔4月份销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率.
（2）已知此种头盔的进价为30元/个,经测算,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨0.2元/个,则月销售量将减少2个.为使月销售利润达到10 000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？
答案：22. (1) 月增长率为20% (2) 定价为50元/个
解析：
【分析】
（1）第一问属于增长率问题，解题核心是运用增长率通用公式：初始量×(1+月增长率)^增长月数=最终量。本题已知4月初始销量和6月最终销量，增长月数为2，设月增长率为未知数列方程求解即可，注意舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问属于销售利润问题，解题核心是牢记“总利润=单个利润×月销售量”的等量关系。先设实际售价为未知数，分别表示出单个利润、对应售价下的月销售量，再结合总利润为10000元列方程，最后根据“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择数值更小的售价即可。
【解析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为$ x $，根据题意列方程：
$150(1+x)^2 = 216$
化简得：$ (1+x)^2 = 1.44 $
开方得：$ 1+x = \pm1.2 $
解得：$ x_1=0.2=20\% $，$ x_2=-2.2 $（增长率不能为负，不符合题意，舍去）
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为每个$ m $元，根据题意：
单个利润为$ (m-30) $元，
售价较40元上涨$ (m-40) $元，对应月销售量减少$ \frac{m-40}{0.2} × 2 = 10(m-40) $个，
因此月销售量为$ 600 - 10(m-40) = 1000 - 10m $个。
结合总利润为10000元列方程：
$(m-30)(1000-10m) = 10000$
整理得：$ m^2 - 130m + 4000 = 0 $
因式分解得：$ (m-50)(m-80) = 0 $
解得：$ m_1=50 $，$ m_2=80 $
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以选择更低的售价，即$ m=50 $。
【答案】
(1) 月增长率为20%；(2) 实际售价应定为每个50元
【知识点】
一元二次方程应用；增长率问题；销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，第一问直接套用增长率公式即可求解，第二问需要准确梳理售价和销售量的对应关系，结合利润公式列方程，解题时要注意根据题目限定条件对根进行取舍，侧重考查等量关系梳理能力和方程求解能力。
【难度系数】
0.7
23. (12分)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$移动,速度为$1\ \mathrm{cm/s}$,点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$移动,速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,点$P,Q$分别从点$A,B$同时出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动.
(1) 经过多长时间,$PQ$的长为$\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$?
(2) 是否存在时间$t$,使得直线$PQ$平分$△ ABC$的面积? 若存在,求出$t$的值,若不存在,请说明理由.
答案：23. (1) $1\ \mathrm{s}$或$\frac{7}{5}\mathrm{s}$ (2) $S=\frac{1}{2}(6-t)· 2t=-t^2+6t=15$,即$t^2-6t+15=0$,$\Delta=-24＜0$,$\therefore$不存在
解析：
【分析】
本题为动点与一元二次方程结合的应用题，解题思路如下：
(1) 首先设运动时间为t秒，先根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式分别表示出线段PB、BQ的长度，再结合∠B为直角，利用勾股定理建立关于t的一元二次方程，求解后结合动点的运动范围验证解的合理性即可。
(2) 先计算Rt△ABC的总面积，若PQ平分其面积，则△PBQ的面积为总面积的一半，再用三角形面积公式表示出△PBQ的面积，建立关于t的一元二次方程，通过判断方程根的判别式的符号，确定方程是否有符合要求的实根，即可得出是否存在这样的t。
【解析】
解：设运动时间为t s，由题意可知运动时间取值范围为$0\le t\le5$（Q到达终点需$10÷2=5\ \mathrm{s}$，P到达终点需$6÷1=6\ \mathrm{s}$，故最多运动5s），此时$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，$\therefore PB = AB - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm}$。
(1) 当PQ的长为$\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$时，
∵$∠ B=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△PBQ$中，由勾股定理得：
$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$
代入得：$(6-t)^2 + (2t)^2 = (\sqrt{29})^2$
展开整理：$36 - 12t + t^2 + 4t^2 = 29$
即$5t^2 -12t +7 = 0$
因式分解得：$(t-1)(5t-7)=0$
解得$t_1=1$，$t_2=\frac{7}{5}$，两个解均满足$0\le t\le5$，符合要求。
(2) 不存在，理由如下：
先计算$S_{△ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 10 = 30\ \mathrm{cm^2}$
若PQ平分$△ABC$的面积，则$S_{△PBQ} = \frac{1}{2} S_{△ABC} = 15\ \mathrm{cm^2}$
又$S_{△PBQ} = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (6-t) × 2t = -t^2 +6t$
令$-t^2 +6t =15$，整理得$t^2 -6t +15 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × 15 = 36 - 60 = -24 ＜ 0$
∴该一元二次方程无实数根，即不存在这样的时间t使得直线PQ平分$△ABC$的面积。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{7}{5}\ \mathrm{s}}$
(2) 不存在，理由见解析
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的应用，三角形面积计算
【点评】
本题是动点几何与代数方程结合的典型题型，既考查了几何中勾股定理、面积计算的基础应用，又考查了一元二次方程的求解和根的判别式的实际运用，解题时要注意先确定动点的运动时间范围，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.65
