【分析】
(1) 找圆心的依据是圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，因此只需作出两条不平行弦的垂直平分线，两条线的交点即为圆心，可选择弦AB和弧上另一任意不平行于AB的弦作垂直平分线。
(2) 求解积水最大深度需运用垂径定理，过圆心作两条平行弦AB、CD的垂线，结合垂径定理得到弦长的一半，设半径和圆心到AB的距离为未知数，利用勾股定理列方程求出半径和圆心到CD的距离，最终用半径减去圆心到CD的距离即可得到积水的最大深度。
【解析】
(1) 分别作弦AB和弧EF上任意一条不与AB平行的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，作图痕迹如图所示。
(2) 过点O作OG⊥AB于点G，延长OG交CD于点H，
∵AB//CD，
∴OH⊥CD，
由垂径定理得：$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m})$，$CH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{m})$，
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，$OG=x\ \mathrm{m}$，
∵水面下降1 m，
∴$OH=OG+1=(x+1)\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAG$中，由勾股定理得：$r^2=x^2+4^2$ ①，
在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，由勾股定理得：$r^2=(x+1)^2+3^2$ ②，
联立①②得：$x^2+16=(x+1)^2+9$，
展开整理得：$2x=6$，解得$x=3$，
将$x=3$代入①得$r^2=3^2+4^2=25$，
∴$r=5$（$r＞0$），
∴$OH=3+1=4(\mathrm{m})$，
∴此时积水的最大深度为：$r-OH=5-4=1(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 如图 (2) 水面最大深度为1 m
【知识点】
垂径定理；勾股定理；尺规作图找圆心
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了尺规作图的基本技能，又考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，构造直角三角形建立方程是解决第二问的关键，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证DE垂直于过切点的半径，因此优先连接OD、AD。首先利用直径所对圆周角为直角，得△ADC为直角三角形，结合E是AC中点，可得ED=EA，推出对应角相等；再结合OD=OA的等边等角关系，利用∠BAC=90°等量代换即可证得OD⊥DE，完成切线证明。
(2) 先在Rt△ODF中利用30°角的性质，设⊙O半径为R，可得OF=2R，结合OF=OB+BF列方程求出R，得到AB的长度；再由角度关系推出∠ABC的度数，结合直角三角形外接圆的斜边为直径的性质，即可求出△ABC外接圆的半径。
【解析】
(1) 证明：连接OD、AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，△ADC为直角三角形，
∵E是AC的中点，
∴DE=AE，
∴∠EDA=∠EAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠EAD+∠OAD=90°，
∴∠EDA+∠ODA=∠EDO=90°，即OD⊥DE，
又
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线。
(2) 解：设⊙O的半径为R，则OD=OB=R，
在Rt△ODF中，∠F=30°，
∴OF=2OD=2R，
∵OF=OB+BF=R+1，
∴2R=R+1，解得R=1，
∴AB=2R=2，
∵∠F=30°，∠ODF=90°，
∴∠DOF=60°，
又
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，∠ABC=60°，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=4，
∵Rt△ABC的外接圆直径为斜边BC，
∴△ABC外接圆的半径为4÷2=2。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
切线的判定，直角三角形性质，三角形外接圆性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型综合题，第一问考查切线的常规证明思路，核心是构造半径证垂直；第二问需要结合特殊角的性质求解，解题时需注意区分题干中两个不同圆的半径，避免概念混淆。
【难度系数】
0.65