【分析】
(1) 要证$FD=FG$，可通过证明$△ GFD$是等腰三角形推导：先利用切线性质得$GF⊥ DF$，得$∠ GFD=90°$；再结合$DF⊥ AB$和$∠ BAC=45°$，推出$∠ GDF=45°$，进而得$∠ G=45°$，利用等角对等边即可得证。
(2) 求半径可先由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=6$，结合第一问结论$FD=FG=10$，由等腰直角$△ AED$得$DE=AE=6$，算出$EF=4$；设半径为$r$，用$r$表示出$OE=r-4$，在$Rt△ OAE$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because DF⊥ AB$，$\therefore ∠ AED=90°$，
在$Rt△ AED$中，$∠ DAE=∠ BAC=45°$，
$\therefore ∠ ADE=90°-45°=45°$，即$∠ GDF=45°$，
$\because GF$是$\odot O$的切线，$F$为切点，$OF$是$\odot O$的半径，且$O、F、D$共线，
$\therefore GF⊥ DF$，即$∠ GFD=90°$，
在$Rt△ GFD$中，$∠ G=90°-∠ GDF=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ G=∠ GDF$，
$\therefore FD=FG$。
(2) 解：连接$OA$，
$\because DF⊥ AB$，$DF$过圆心$O$，$AB=12$，
$\therefore$ 由垂径定理得：$AE=EB=\frac{1}{2}AB=6$，
由(1)知$FD=FG$，$FG=10$，$\therefore FD=10$，
$\because Rt△ AED$中$∠ DAE=∠ ADE=45°$，是等腰直角三角形，
$\therefore DE=AE=6$，
$\therefore EF=FD-DE=10-6=4$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OF=r$，
$\therefore OE=OF-EF=r-4$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OA^2=AE^2+OE^2$，
即 $r^2=6^2+(r-4)^2$，
展开得：$r^2=36+r^2-8r+16$，
整理得：$8r=52$，
解得：$r=\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{13}{2}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的常规综合题，解题关键是熟练运用圆的相关性质得到角度、线段的等量关系，结合勾股定理列方程求解，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65

【分析】
(1) 首先BC过圆心则为⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角得到∠BAC=90°，结合已知∠ACB=35°可求出∠ABC的度数，再利用平行四边形对角相等的性质即可得到∠D的度数。
(2) 要求$\overset{\frown}{AC}$的长，需先求其对应的圆心角度数：连接OA，根据切线性质得OA⊥AD，结合平行四边形对边平行推出OA⊥BC，由垂径定理得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再根据圆周角定理求出$\overset{\frown}{AB}$的度数，即可得到$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1)
∵BC经过圆心O，
∴BC是⊙O的直径，
根据直径所对的圆周角为直角，得∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，∠ACB=35°，
∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-35°=55°，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角相等，
∴∠D=∠ABC=55°。
(2) 连接OA，
∵AD与⊙O相切，A为切点，根据切线的性质得OA⊥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴OA⊥BC，由垂径定理可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∵∠ACB=35°是对应$\overset{\frown}{AB}$的圆周角，根据圆周角定理，$\overset{\frown}{AB}$的度数为$2×35°=70°$，
∴$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角∠AOC=70°，
已知⊙O半径$r=6$，代入弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，得：
$\overset{\frown}{AC}$的长$=\frac{70π×6}{180}=\frac{7π}{3}$。
【答案】
(1) $55°$ (2) $\frac{7π}{3}$
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，弧长计算
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，合理添加辅助线转化条件，需要学生能灵活运用基础定理建立已知和未知的关联。
【难度系数】
0.65

【分析】
（1）第一问是平均增长率问题，解题核心是运用增长率公式：初始量×(1+年均增长率)ⁿ=增长n年后的量，本题中2021年到2023年间隔2年，设年均增长率为x，代入已知数据列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可求解。
（2）第二问是销售类总价问题，首先通过对比100套的总价和实际支付货款，判断购买套数超过100套；再计算出达到最低售价时的购买套数，确定所求套数的取值范围，设购买套数为y，根据“总价=套数×单价”列方程求解，最后检验解是否满足“最低售价不低于1000元”的限定，舍去不符合条件的根。
【解析】
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$。
由题意得：$32(1+x)^2=50$
整理得：$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
开方得：$1+x=\pm\frac{5}{4}$
∵增长率为正数，
∴$1+x=\frac{5}{4}$，解得$x=0.25=25\%$，负根舍去。
（2）购买100套的总货款为：$100×1600=160000$元$=16$万元$＜24$万元，因此购买套数超过100套。
当售价刚好为1000元时，每套降价$1600-1000=600$元，需要增加的套数为$\frac{600}{40}×10=150$套，即购买$100+150=250$套时售价为1000元，超过250套时单价仍为1000元。
设购买健身器材$y$套：
①当$100＜y≤250$时，每套售价为$1600-40×\frac{y-100}{10}=2000-4y$元
根据总货款24万元=240000元，列方程：
$y(2000-4y)=240000$
整理得：$y^2-500y+60000=0$
因式分解得：$(y-200)(y-300)=0$
解得$y_1=200$，$y_2=300$，其中$y=300＞250$不符合条件，舍去。
②当$y＞250$时，每套售价为1000元，由$1000y=240000$得$y=240$，与$y＞250$矛盾，舍去。
综上，购买套数为200套。
【答案】
（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；（2）购买的这种健身器材的套数为200套
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，销售问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，第一问较为基础，熟练掌握增长率公式即可求解；第二问的易错点是忽略最低售价的限制条件，求解后未对根的合理性进行检验，做题时要注意结合实际限定条件筛选答案。
【难度系数】
0.65