3. 如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点P从点A出发,沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B出发,沿边BC和CD向点D以2 cm/s的速度移动,点P,Q分别从点A,B同时出发,当其中一点到终点时,另一点也随之停止运动.经过多长时间,△PBQ的面积等于8 cm²?
答案：3. 2或$\frac{10}{3}$
解析：
【分析】
首先确定两点的总运动时间范围：点P走完全程AB需6s，点Q走完BC+CD共12cm也需6s，故运动时间t的取值范围是0≤t≤6。接下来分两种情况讨论：①当Q在BC边上运动（0≤t≤3）时，△PBQ为直角三角形，直角边分别为PB=6-t、BQ=2t，根据直角三角形面积公式列方程求解，舍去不符合时间范围的解；②当Q在CD边上运动（3＜t≤6）时，△PBQ的底为PB=6-t，底边上的高为正方形边长6，根据三角形面积公式列方程求解，验证解符合时间范围即可。
【解析】
设经过t s时，△PBQ的面积等于8 cm²。
由题意得，点P、Q的最长运动时间为$\frac{6}{1}=\frac{6+6}{2}=6$ s，即$0\le t\le6$。
分两种情况讨论：
1. 当点Q在BC边上运动时，$0\le t\le3$，此时$PB=(6-t)\mathrm{ cm}$，$BQ=2t\mathrm{ cm}$，$∠ B=90°$，则：
$\frac{1}{2}×(6-t)×2t=8$
化简得$t^2-6t+8=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$。
其中$t=4＞3$，不符合时间范围，舍去，故$t=2$。
2. 当点Q在CD边上运动时，$3＜ t\le6$，此时△PBQ中PB边上的高等于正方形边长6 cm，则：
$\frac{1}{2}×(6-t)×6=8$
化简得$18-3t=8$，解得$t=\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$在$3＜ t\le6$范围内，符合要求。
综上，经过2 s或$\frac{10}{3}$ s时，△PBQ的面积等于8 cm²。
【答案】
2 s或$\frac{10}{3}$ s
【知识点】
一元二次方程的应用，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题属于动点与方程结合的基础应用题，核心解题思路是根据动点的位置分类讨论，求解后要注意验证解是否符合实际运动的时间范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.65
4. 如图,小岛 A 在码头 B 的正西方向,A,B 相距 40 n mile(1 n mile≈1.852 km).上午 9 时,一渔船和一游艇同时出发,渔船以 20 n mile/h 的速度从码头 B 向正北方向出海作业,游艇以 25 n mile/h的速度从岛 A 返回码头 B.一段时间后,渔船因故障停航在 C 处并发出信号.游艇在 D 处收到信号后立即向渔船驶去,上午 11 时到达 C 处.游艇是在上午何时收到信号的?
答案：4. 游艇在上午10时收到信号的
解析：
【分析】
这是一道结合行程问题与勾股定理的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 设未知数：设游艇出发x小时后收到信号，先确定9时到11时总行驶时长为2小时；2. 表示各线段长度：根据“路程=速度×时间”，分别表示出AD、DB、BC、DC的长度，其中△DBC是直角三角形，∠B为直角；3. 列方程：利用勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”列一元二次方程；4. 解方程并检验：舍去不符合实际意义的负根，再根据出发时间推算收到信号的时刻。
【解析】
解：设游艇从出发到收到信号经过了x小时。
由题意可知，9时到11时总时长为2小时，因此游艇从D处行驶到C处用时$(2-x)$小时。
根据路程=速度×时间可得：
$AD = 25x\ \mathrm{n mile}$，故$DB = AB - AD = (40 - 25x)\ \mathrm{n mile}$；
渔船行驶x小时后停在C处，故$BC = 20x\ \mathrm{n mile}$；
$DC = 25(2 - x)\ \mathrm{n mile}$。
∵ $∠B = 90°$，在$Rt△ DBC$中，由勾股定理得：
$DB^2 + BC^2 = DC^2$
代入得：$(40 - 25x)^2 + (20x)^2 = [25(2 - x)]^2$
展开整理得：$4x^2 + 5x - 9 = 0$
解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{9}{4}$（时间不能为负，舍去）
9时出发，经过1小时为10时。
【答案】
游艇在上午10时收到信号的
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程的实际应用；行程问题公式
【点评】
本题将行程问题和几何勾股定理相结合，解题核心是准确梳理各段路程对应的量，找到直角三角形的边长关系列方程，求解后注意结合实际情况对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发沿$AB$向点$B$以1 cm/s的速度移动,与此同时,点$Q$从点$B$出发沿$BC$向点$C$以2 cm/s的速度移动.如果点$P$,Q分别从点$A$,$B$同时出发,当点$Q$运动到点$C$时,两点停止运动.
(1) 经过多长时间,$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$?
(2) $△ PBQ$的面积会等于$10\ \mathrm{cm}^2$吗?若会,请求出此时的运动时间.
答案：(1) 经过2 s或4 s,$△PBQ$的面积等于8 cm²
(2) $△PBQ$的面积不会等于10 cm²
解析：
【分析】
这是动点与图形面积结合的应用题，解题思路如下：首先设运动时间为t秒，先确定t的取值范围（点Q到点C即停止，可求出t最大为4s）；再用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；最后根据直角三角形面积公式列一元二次方程求解，第一问验证解是否符合t的取值范围即可，第二问通过判断方程根的情况确定面积能否达到10cm²。
【解析】
解：设点P、Q的运动时间为t s，由题意可知点Q运动到点C的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，因此t的取值范围为$0≤ t≤4$。
此时$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，则$PB=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ B=90°$，所以$△ PBQ$的面积为$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}· PB· BQ$。
(1) 令$S_{△ PBQ}=8\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}×(6-t)×2t=8$
化简得：$t(6-t)=8$，整理为标准一元二次方程：
$t^2-6t+8=0$
因式分解得$(t-2)(t-4)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$。
两个解均满足$0≤ t≤4$，均符合题意。
(2) 令$S_{△ PBQ}=10\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}×(6-t)×2t=10$
化简得：$t(6-t)=10$，整理为标准一元二次方程：
$t^2-6t+10=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，因此该方程无实数根，即不存在这样的运动时间使得$△ PBQ$的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 经过2 s或4 s，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$
(2) $△ PBQ$的面积不会等于$10\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程应用；根的判别式；直角三角形面积计算
【点评】
本题是典型的动点类一元二次方程实际应用题，解题核心是将运动线段的长度用含时间的代数式表示，结合面积公式建立方程，同时要注意结合动点的运动范围验证解的合理性，判断是否存在对应情况时可通过判别式判断方程是否有实数根。
【难度系数】
0.7
