【分析】
本题考查反比例函数与一次函数的基础概念及解析式的求法，解题可按以下思路展开：首先梳理两类函数的区别，可从表达式形式、自变量取值范围、图像特征三个核心维度逐一对比，避免混淆；其次思考一次函数解析式的求法，一次函数含k、b两个待定系数，因此需要两组x、y的对应值，用待定系数法列方程组求解；最后思考反比例函数解析式的求法，反比例函数仅含k一个待定系数，因此只需一组非零的x、y对应值即可求出k确定解析式。
【解析】
反比例函数与一次函数的区别：
1. 表达式形式不同：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），自变量$x$的最高次数是1；反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的次数为$-1$，且$x≠0$。
2. 自变量取值范围不同：一次函数的自变量取值范围是全体实数；反比例函数的自变量取值范围是不等于0的一切实数。
3. 图像不同：一次函数的图像是一条直线；反比例函数的图像是双曲线，图像与坐标轴没有交点。
确定一次函数的表达式：
一次函数的表达式中有两个待定系数$k$和$b$，使用待定系数法，将两组满足函数关系的$x$、$y$对应值代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$的值，即可确定一次函数的表达式。
确定反比例函数的表达式：
反比例函数的表达式中只有一个待定系数$k$，使用待定系数法，将一组满足函数关系的非零$x$、$y$对应值代入$y=\frac{k}{x}$，求出$k$的值，即可确定反比例函数的表达式。
【答案】
1. 反比例函数与一次函数的区别：
①表达式形式不同：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），自变量$x$的最高次数是1；反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的次数为$-1$，且$x≠0$。
②自变量取值范围不同：一次函数的自变量取值范围是全体实数；反比例函数的自变量取值范围是不等于0的一切实数。
③图像不同：一次函数的图像是一条直线；反比例函数的图像是双曲线，与坐标轴没有交点。
2. 确定一次函数表达式：一次函数的表达式中有两个待定系数$k$和$b$，使用待定系数法，将两组满足函数关系的$x$、$y$对应值代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解出$k$、$b$的值，即可确定一次函数的表达式。
3. 确定反比例函数表达式：反比例函数的表达式中只有一个待定系数$k$，使用待定系数法，将一组满足函数关系的非零$x$、$y$对应值代入$y=\frac{k}{x}$，求出$k$的值，即可确定反比例函数的表达式。
【知识点】
1. 一次函数的概念
2. 反比例函数的概念
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础概念类题目，侧重考查对两类常见函数核心特征的区分能力，以及待定系数法的基本运用，是学习函数相关内容的必备基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.8

【分析】
解答本题首先要明确反比例函数的判断标准：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），也可变形为$xy=k$（$k\ne0$）、$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式，核心特征是自变量$x$的次数为$-1$，且$k$为非零常数。解题时只需将每个选项的表达式整理变形，对照定义逐一排查即可。
【解析】
先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，逐一分析选项：
1. 选项A：将$x(y-1)=1$展开整理得$y=\frac{1}{x}+1$，式子中多了常数项1，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
2. 选项B：$y=\frac{1}{x+1}$的分母是$x+1$，自变量为$x+1$而非$x$，不符合定义，不是反比例函数；
3. 选项C：$y=\frac{1}{x^2}$中$x$的次数为$-2$，不满足自变量次数为$-1$的要求，不是反比例函数；
4. 选项D：$y=\frac{1}{3x}$可变形为$y=\frac{\frac{1}{3}}{x}$，其中$k=\frac{1}{3}$是不为0的常数，完全符合反比例函数的定义。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确记忆反比例函数的三类表达形式，做题时注意区分分母含加减项、自变量次数不符合要求的易混淆表达式即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题首先要回忆反比例函数的定义，反比例函数可以写成$y = kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，其中自变量$x$的次数固定为$-1$。本题已知给出的函数是反比例函数，因此自变量$x$的指数$2n-1$必须等于$-1$，接下来解这个关于$n$的一元一次方程即可得到结果，最后验证比例系数不为0，符合反比例函数的要求即可。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，也可改写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），即自变量的次数为$-1$。
已知$y=-3x^{2n-1}$是反比例函数，因此自变量$x$的指数满足：
$2n-1=-1$
移项计算得：$2n=0$
解得：$n=0$
此时比例系数$-3≠0$，符合反比例函数的定义。
【答案】
0
【知识点】
1. 反比例函数的定义 2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握反比例函数自变量次数为-1、比例系数不为0的特征，只要准确记忆相关概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

【解析】
要使$y=(a+1)x^{a^2-2}$是反比例函数，需满足反比例函数的定义条件：
1. 自变量的指数为$-1$：即$a^2 - 2 = -1$，解得$a^2=1$，$a=\pm1$；
2. 比例系数不为0：即$a+1≠0$，得$a≠-1$。
结合两个条件，舍去$a=-1$，可得$a=1$，与给定参考答案$\sqrt{3}$不符。
1

【分析】
本题考查反比例函数解析式的求解，采用待定系数法即可解决。已知反比例函数的形式为$y=\frac{m}{x}$，且给出了一组x、y的对应取值，只需将这组值代入函数表达式，求出未知系数m的值，就能得到完整的函数表达式。
【解析】
将$x=2$，$y=6$代入函数$y=\frac{m}{x}$中，可得：
$\displaystyle 6=\frac{m}{2}$
等式两边同时乘2，解得$m=6×2=12$
把$m=12$代入$y=\frac{m}{x}$，即可得到函数表达式。
【答案】
$y=\frac{12}{x}$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，核心考查待定系数法的应用，掌握代入求值的基本运算即可快速解答。
【难度系数】
0.9

【分析】
要确定反比例函数的表达式，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），解题核心是求出未知系数$k$的值。我们已知一组$x$、$y$的对应值，将其代入一般式即可得到关于$k$的一元一次方程，解出$k$后再代回一般式，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），
将$x=-3$，$y=4$代入上述表达式，可得：
$4=\frac{k}{-3}$
解方程得：$k=4×(-3)=-12$
将$k=-12$代入$y=\frac{k}{x}$，即可得到$y$关于$x$的函数表达式。
【答案】
$y=-\frac{12}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题关键是牢记反比例函数的一般形式，掌握待定系数法求函数解析式的基本步骤，属于基础得分题，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先要明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$，$x\ne0$）的函数叫做反比例函数。接下来针对每个小问，先结合对应的数量关系列出两个变量的函数表达式，再将表达式和反比例函数的定义对照判断即可。具体步骤为：1. 提取每个问题中的等量关系；2. 代入已知常量，整理得到关于两个变量的函数式；3. 对照反比例函数形式判断是否符合。
【解析】
（1）根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知底为3cm，底边上的高为$x\ \mathrm{cm}$，面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$y=\frac{1}{2}×3× x=\frac{3}{2}x$，该函数是正比例函数，不符合反比例函数的形式，因此不是反比例函数。
（2）根据路程公式$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$，已知甲乙两地距离$s$为定值，可得$s=vt$，整理得$v=\frac{s}{t}$，其中$s$是不为0的常数，符合反比例函数的形式，因此是反比例函数。
（3）根据“剩余管道长度=总长度-已检修管道长度”，已知总长度100m，每天检修10m，$x$天检修$10x\ \mathrm{m}$，代入得：
$y=100-10x=-10x+100$，该函数是一次函数，不符合反比例函数的形式，因此不是反比例函数。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2}x$，否；(2) $v=\frac{s}{t}$，是；(3) $y=-10x+100$，否
【知识点】
反比例函数的定义；实际问题列函数关系式
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对反比例函数形式的识别能力，解题时需注意结合不同场景的等量关系正确推导函数表达式，同时要注意区分反比例函数与正比例函数、一次函数的形式差异。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，首先要明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$的核心性质：两个变量$x$、$y$的乘积为定值$k$，本题中$k=20$，即$xy=20$。我们只需结合生活实际，找到两种存在关联、且乘积恒为20的量，将$x$、$y$分别对应这两个量，描述清楚对应的场景即可，注意实际问题中变量的取值要符合常理（如长度、价格均为正数）。
【解析】
我们可以结合常见的数量关系举例，示例如下：
示例1：已知长方形的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$，设长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），宽为$y\ \mathrm{cm}$，那么宽$y$关于长$x$的函数关系就可以表示为$y=\frac{20}{x}$。
示例2：总共有20元钱用来买笔记本，设每本笔记本的单价为$x$元（$x＞0$），可购买的笔记本数量为$y$本，那么购买数量$y$关于单价$x$的函数关系可以表示为$y=\frac{20}{x}$。
只要所举例子中两个变量的乘积恒为20，且符合生活实际均成立。
【答案】
答案不唯一,符合生活实际就行，例如：面积为$20\ \mathrm{cm}^2$的长方形，长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，则$y=\frac{20}{x}$可表示宽关于长的函数关系。
【知识点】
反比例函数的概念，反比例函数的实际应用
【点评】
本题为开放性基础题，侧重考查对反比例函数本质的理解，需要结合生活场景构建数学模型，灵活性较强，只要抓住“两个变量乘积为定值20”的核心即可顺利作答。
【难度系数】
0.8