活动一:读一读 想一想
自学课本第48页“问题”,思考并回答以下问题:
如果自变量范围是$-2＜x＜-1$,那么如何确定函数值$y$的取值范围?
活动二:读一读 做一做
自学课本第48页“例3”,并完成“讨论”.
活动三:试一试 做一做
如图2-2,在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上任取一点$P_1$,过点$P_1$分别作$x$轴、$y$轴的垂线,垂足分别为$M_1, Q_1$.
(1) 矩形$OM_1P_1Q_1$的面积记为$S_1$,求$S_1$.
(2) 在图2-2中,用同样方法取点$P_2$,分别作$x$轴、$y$轴的垂线,垂足分别为$M_2, Q_2$,矩形$OM_2P_2Q_2$的面积记为$S_2$,求$S_2$.从中你发现了什么规律?
解析：
【分析】
1. 活动一：解决该问题首先要明确反比例函数$y=\frac{4}{x}$的增减性：$k=4＞0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。先计算区间端点对应的函数值，再结合增减性即可确定$y$的取值范围，注意要在同一象限内判断增减性。
2. 活动三(1)：设出点$P_1$的坐标，利用点在反比例函数图象上满足函数解析式，得到横纵坐标的乘积，再结合矩形面积=长×宽（即横坐标绝对值乘纵坐标绝对值），即可求出$S_1$。
3. 活动三(2)：和(1)的方法完全相同，求出$S_2$后对比$S_1$和$S_2$的结果，即可总结出反比例函数中$k$的几何意义相关规律。
活动二为课本自学内容，此处不展开分析。
【解析】
活动一
反比例函数$y=\frac{4}{x}$中$k=4＞0$，因此在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-2$时，$y=\frac{4}{-2}=-2$；当$x=-1$时，$y=\frac{4}{-1}=-4$。
已知自变量范围是$-2＜x＜-1$，该区间内$x$为负，属于第三象限的函数分支，结合函数的递减性，可得函数值的取值范围为$\boldsymbol{-4＜y＜-2}$。
活动三
(1) 设点$P_1$的坐标为$(x_1,y_1)$，因为$P_1$在$y=\frac{4}{x}$的图象上，因此$y_1=\frac{4}{x_1}$，即$x_1y_1=4$。
由题意，矩形$OM_1P_1Q_1$的长为$OM_1=x_1$（$P_1$在第一象限，$x_1＞0$），宽为$OQ_1=y_1$（$y_1＞0$），因此面积$S_1=OM_1· OQ_1=x_1y_1=4$。
(2) 设点$P_2$的坐标为$(x_2,y_2)$，同理，$P_2$在$y=\frac{4}{x}$的图象上，故$x_2y_2=4$。
矩形$OM_2P_2Q_2$的面积$S_2=OM_2· OQ_2=x_2y_2=4$。
规律：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点，分别作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积恒等于$\vert k\vert$，与点的位置无关。
活动二为课本自学内容，此处略。
【答案】
活动一：$y$的取值范围是$-4＜y＜-2$；
活动二：略；
活动三：(1)$S_1=4$；(2)$S_2=4$，规律为过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形面积为$\vert k\vert$。
【知识点】
反比例函数的增减性，反比例函数$k$的几何意义
【点评】
本题围绕反比例函数的核心性质设计，需要注意判断增减性时要限定在同一个象限内，而$k$的几何意义是反比例函数中非常重要的结论，常用于解决图形面积相关的问题。
【难度系数】
0.7
