3. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端.”如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高$ y $ cm是物距(小孔到蜡烛的距离)$ x $ cm的反比例函数.当$ x=8 $时，$ y=3 $.
(1) 求$ y $关于$ x $的函数表达式；
(2) 若物距为4 cm，求火焰的像高.
答案：(1) $y=\dfrac{24}{x}$
(2) 火焰的像高为 6 cm
解析：
【分析】
这道题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先题目明确说明y是x的反比例函数，我们可以先设出反比例函数的一般形式$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，$ k≠0 $）。第一问求函数表达式，只需将已知的$ x=8 $、$ y=3 $代入所设解析式，求出常数k的值，即可得到y关于x的函数表达式，注意结合实际意义确定x的取值范围为正数。第二问求物距为4cm时的像高，只需将$ x=4 $代入第一问求出的函数表达式，计算对应的y值即可。
【解析】
(1) 设y关于x的反比例函数表达式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $，$ x＞0 $）。
将$ x=8 $，$ y=3 $代入表达式，得：
$ 3=\frac{k}{8} $
解得$ k=3×8=24 $
因此y关于x的函数表达式为$ y=\frac{24}{x} $（$ x＞0 $）。
(2) 当物距$ x=4\ \mathrm{cm} $时，将$ x=4 $代入$ y=\frac{24}{x} $，得：
$ y=\frac{24}{4}=6\ (\mathrm{cm}) $
即此时火焰的像高为6cm。
【答案】
(1) $ y=\dfrac{24}{x} $
(2) 火焰的像高为 6 cm
【知识点】
反比例函数定义、待定系数法、反比例函数应用
【点评】
本题结合小孔成像的科学原理考查反比例函数的基础应用，解题的核心是熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
1. 一场暴雨过后,一洼地积存雨水 $20\ \mathrm{m}^3$,设积存的雨水全部排完需 $t\ \mathrm{min}$,排水速度为 $a\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$,且排水时间 $t$ 需满足 $5≤ t≤10$.
（1）试写出 $t$ 关于 $a$ 的函数表达式,并指出 $a$ 的取值范围.
（2）画出函数图象.
（3）根据图象回答:当排水速度为 $3.5\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ 时,排水时间需要多长？
答案：(1) $t=\dfrac{20}{a},2≤ a≤ 4$
(2) 略
(3) $\dfrac{40}{7}\ \mathrm{min}$
解析：
【分析】
解决这道题首先要明确排水总量、排水速度、排水时间三者的等量关系：排水总量=排水速度×排水时间，以此为基础推导函数表达式；再结合题目给出的t的取值范围，通过反比例函数的增减性推导a的取值范围；画图象时注意是给定区间内的反比例函数曲线段；第三问直接将a的值代入函数表达式即可求出对应排水时间。
【解析】
（1）根据题意，排水总量为20$\mathrm{m}^3$，由“总量=速度×时间”可得$a· t=20$，变形得$t$关于$a$的函数表达式为：$t=\dfrac{20}{a}$。
已知$5≤ t≤10$，将$t=\dfrac{20}{a}$代入不等式得：$5≤ \dfrac{20}{a}≤10$。
因为排水速度$a＞0$，不等式同时乘$a$不等号方向不变，可得$5a≤20≤10a$，解得$2≤ a≤4$。
（2）建立平面直角坐标系，横坐标为$a$（单位：$\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$），纵坐标为$t$（单位：$\mathrm{min}$），该函数图象是反比例函数$t=\dfrac{20}{a}$在第一象限内的一段曲线，描出实心端点$(2,10)$、$(4,5)$，用平滑曲线连接两点即可。
（3）当排水速度$a=3.5\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}$时，代入$t=\dfrac{20}{a}$得：
$t=\dfrac{20}{3.5}=\dfrac{40}{7}\ \mathrm{min}$
【答案】
(1) $t=\dfrac{20}{a}$，$2≤ a≤ 4$
(2) 略
(3) $\dfrac{40}{7}\ \mathrm{min}$
【知识点】
反比例函数实际应用，自变量取值范围求解，函数值计算
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的基础应用，核心是找准数量关系列出函数解析式，再根据给定的限制条件求解参数范围，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
2. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度h cm是液体的密度ρ g/cm³的反比例函数,其图象如图所示(ρ＞0).
(1) 求h关于ρ的函数表达式；
(2) 当液体密度ρ≥1时,直接写出浸在液体中的高度h的取值范围.
答案：(1) $h=\dfrac{20}{\rho}$
(2) 浸在液体中的高度 $h$ 的取值范围为 $0＜h≤ 20$
解析：
【分析】
(1) 题目明确说明浸在液体中的高度$h$是液体密度$\rho$的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$，观察图象可得函数过点$(1,20)$，将该点坐标代入表达式即可求出待定系数$k$，进而得到函数表达式。
(2) 对于求得的反比例函数，$k=20＞0$，在$\rho＞0$的范围内，$h$随$\rho$的增大而减小，结合$\rho≥1$的条件，可先求出$\rho=1$时$h$的取值，再结合$h$的实际意义（高度为正），即可推出$h$的取值范围。
【解析】
(1) 设$h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$，
由图象可知，当$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=20\ \mathrm{cm}$，
将$\rho=1$，$h=20$代入表达式得：$20=\frac{k}{1}$，解得$k=20$，
因此$h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\frac{20}{\rho}(\rho＞0)$。
(2) 由反比例函数的性质可知，$k=20＞0$，当$\rho＞0$时，$h$随$\rho$的增大而减小，
当$\rho=1$时，$h=20$，且浸在液体中的高度必然大于0，
因此当$\rho≥1$时，$h$的取值范围是$0＜h≤20$。
【答案】
(1) $h=\dfrac{20}{\rho}$
(2) $0＜h≤ 20$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合密度计的实际应用场景考查反比例函数的基础知识点，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及反比例函数的增减性规律，同时要注意结合实际意义确定变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
