【分析】
要找到完全覆盖△ABC的最小圆形纸片，该圆就是△ABC的外接圆。首先观察三角形特征：△ABC是直角三角形，∠B为直角，根据直角三角形外接圆的性质，外接圆的直径等于斜边长度，因此只需先通过勾股定理求出斜边AC的长度，再除以2即可得到所求的最小圆半径。
【解析】
能够完全覆盖△ABC的最小圆形纸片是△ABC的外接圆。
由网格特征可得：∠ABC=90°，AB=4，BC=3。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此外接圆的直径为5，半径为$\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
三角形外接圆；勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题解题关键是明确覆盖三角形的最小圆为三角形的外接圆，结合直角三角形外接圆的特性可快速求出半径，难度较低。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径为斜边长度的一半。题干仅给出两条边长为5cm和12cm，未说明这两条边是否均为直角边，因此需要分两种情况讨论：①12cm的边为斜边；②5cm和12cm均为直角边，分别计算对应斜边长度，再求外接圆半径即可。
【解析】
解：直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，即外接圆半径$R=\frac{1}{2}×$斜边长，分两种情况讨论：
1. 当长度为12cm的边是斜边时：
外接圆直径为12cm，因此半径$R=\frac{12}{2}=6\mathrm{cm}$；
2. 当长度为5cm和12cm的边均为直角边时：
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$，
因此外接圆半径$R=\frac{13}{2}=6.5\mathrm{cm}$。
综上，该直角三角形的外接圆半径为6cm或6.5cm。
【答案】
6 cm或6.5 cm
【知识点】
1. 直角三角形外接圆性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题干未明确两条边均为直角边，漏算12cm为斜边的情况，解题时要注意审题，结合图形性质全面考虑所有可能的情况，同时要熟练掌握直角三角形外接圆半径与斜边的关系，提升解题的准确性。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先要明确确定一个圆的核心是同时确定圆心（定位置）和半径（定大小），再结合各选项给出的条件逐一判断是否能唯一确定这两个要素，尤其要注意三点确定圆的前提是三点不在同一直线上。
第一步：回忆确定圆的基本条件：圆心和半径可唯一确定圆；不在同一直线上的三个点可唯一确定圆。
第二步：逐一分析每个选项的条件是否满足能唯一确定圆的要求，尤其注意C选项中未限定三个点的位置关系，存在共线的可能。
第三步：结合分析选出符合题意的选项。
【解析】
我们结合确定圆的条件逐一分析选项：
A. 已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，可唯一确定一个圆，不符合题意；
B. 已知直径，直径的中点即为圆心，直径长度的一半为半径，可唯一确定一个圆，不符合题意；
C. 平面上的三个已知点，若三个点在同一条直线上，不存在同时过这三个点的圆，只有三点不在同一直线上时才能确定一个圆，因此该条件不能确定一个圆，符合题意；
D. 三角形的三个顶点一定不在同一直线上，可唯一确定三角形的外接圆，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三点共圆判定
【点评】
本题考查对确定圆的条件的掌握，易错点是容易忽略平面内三个点可能共线的特殊情况，牢记“不在同一直线上的三个点才能唯一确定一个圆”是解题关键。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）过不在同一直线上三点的圆的圆心是这三点构成三角形的外心，外心为三边垂直平分线的交点，且到三个顶点的距离相等。首先观察A、C两点纵坐标相同，可知线段AC为水平线段，它的垂直平分线是过AC中点的竖直直线，可先确定圆心所在的竖直线；再设圆心坐标，利用圆心到A、B两点距离相等列方程求解，即可得到圆心坐标。
（2）求圆的面积需先求出半径，半径为圆心到A、B、C任意一点的距离，用勾股定理算出半径长度后，代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
（1）由图可得三点坐标：$A(-2,-1)$，$B(0,1)$，$C(4,-1)$。
∵A、C纵坐标均为-1，线段AC为水平线段，AC中点的横坐标为$\frac{-2+4}{2}=1$，
∴AC的垂直平分线为直线$x=1$，即圆心M在直线$x=1$上，设$M(1,m)$。
∵圆心到三个顶点距离相等，
∴$MA=MB$，即$MA^2=MB^2$，
由勾股定理得：$(1+2)^2 + (m+1)^2 = (1-0)^2 + (m-1)^2$，
展开化简：$9+m^2+2m+1=1+m^2-2m+1$，解得$m=-2$，
∴圆心M的坐标为$(1,-2)$。
（2）计算⊙M的半径$r=MA$：
$r=\sqrt{(1+2)^2 + (-2+1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，
∴⊙M的面积$S=π r^2=π×(\sqrt{10})^2=10π$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,-2)}$；(2) $\boldsymbol{10π}$
【知识点】
确定圆的条件；勾股定理；圆的面积计算
【点评】
本题围绕外心的性质展开考查，解题关键是掌握外心到三角形三个顶点距离相等的特点，结合坐标特征用勾股定理列式求解，是基础类题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题首先要明确题意：猫要同时顾及三个出口，意味着蹲守点到A、B、C三个出口的距离需要相等，这样不管老鼠从哪个出口跑出，猫到出口的路程一致，能最快反应。接下来我们只需要回忆三角形各特殊点的性质，找到符合“到三角形三个顶点距离相等”的点即可。
【解析】
要同时兼顾三个出口，猫的蹲守点需满足到A、B、C三点距离相等，逐一分析选项：
A. 三角形三边高线的交点是垂心，无到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
B. 三角形三条角平分线的交点是内心，它到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三角形三边中线的交点是重心，是中线的三等分点，不满足到三个顶点距离相等的要求，不符合；
D. 三角形三边垂直平分线的交点是外心，根据线段垂直平分线的性质，该点到三角形三个顶点的距离相等，符合题意。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线性质、三角形外心性质、三角形特殊点辨析
【点评】
本题结合生活场景考查三角形特殊点的性质，解题核心是将实际需求转化为“到三个顶点距离相等”的数学要求，解题时要注意区分内心、外心等特殊点的性质差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断过三个点能否确定一个圆，依据是“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，因此解题的核心是判断A、B、C三点是否共线。我们可以先用待定系数法求出过A、B两点的直线函数表达式，再将点C的坐标代入表达式验证，若点C不在该直线上，说明三点不共线，即可确定一个圆，反之则不能。
【解析】
解：设过A、B两点的直线解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(1,-1)$、$B(-2,5)$代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = -1 \\-2k + b = 5\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得$3k=-6$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$k + b = -1$，得$-2 + b = -1$，解得$b=1$，
因此直线AB的解析式为$y=-2x+1$。
将点$C(4,-6)$的横坐标$x=4$代入直线AB的解析式，得$y=-2×4 +1=-7$，
因为$-7≠-6$，所以点C不在直线AB上，即A、B、C三点不在同一条直线上。
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知过A、B、C三点能确定一个圆。
【答案】
过A，B，C三点能确定一个圆，理由是A、B、C三点不在同一条直线上，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础应用类题目，将圆的判定知识与一次函数知识结合考查，只要掌握三点确定圆的前提条件，熟练运用待定系数法求一次函数解析式并验证点是否在直线上，即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题可结合等腰三角形性质和外接圆特点求解：首先，等腰三角形三线合一，作底边BC的高AD，AD同时是BC的垂直平分线，而三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，因此圆心O在AD上；先利用勾股定理求出AD的长度，再设外接圆半径为R，用R表示出OD的长度，最后在Rt△OBD中根据勾股定理列方程即可解出半径。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，连接OB。
∵AB=AC=10，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}$=$\sqrt{10^2-6^2}$=8。
∵△ABC是等腰三角形，其外接圆的圆心O在AD上，
设外接圆半径为R，则OA=OB=R，OD=AD-OA=8-R。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
OB²=OD²+BD²，即$R^2=(8-R)^2+6^2$，
展开得：$R^2=64-16R+R^2+36$，
整理得：16R=100，解得$R=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
1.等腰三角形性质
2.勾股定理
3.三角形外接圆性质
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础计算题，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质确定外接圆圆心的位置，进而通过勾股定理构造方程求解，体现了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7