活动一:想一想 说一说
1. 如图3-8,BC是$\odot O$的直径,A是$\odot O$上任意一点,求$∠ BAC$的度数.
图3-8
2. 如图3-9,点A在$\odot O$上,$∠ BAC=90°$,弦BC经过圆心吗?为什么?
图3-9
3. 归纳发现:
直径所对的圆周角是直角,$90°$的圆周角所对的弦是直径
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答案：1. $∠BAC=90°$
2. 弦BC经过圆心.可证得$∠BOC=180°$
3. 直径所对的圆周角是直角,$90°$的圆周角所对的弦是直径
解析：
【分析】
1. 求解第1题时，首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。已知BC是⊙O的直径，那么BC对应的圆心角是平角180°，∠BAC是弧BC所对的圆周角，代入定理即可求出度数。
2. 求解第2题时，同样依托圆周角定理，已知∠BAC=90°，可先推出它所对弧BC对应的圆心角的度数，若圆心角为180°，则说明圆心在弦BC上，即可判断BC过圆心。
3. 第3题只需将前两问的正反结论归纳整合，即可得到对应的通用规律。
【解析】
1. 连接OA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°。
根据圆周角定理，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
2. 弦BC经过圆心，理由如下：
连接OB、OC，根据圆周角定理，弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠BOC=2×90°=180°，
∴B、O、C三点在同一条直线上，即弦BC是直径，经过圆心O。
3. 结合前两问的结论可归纳：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【答案】
1. $\boldsymbol{∠BAC=90°}$
2. 弦BC经过圆心，可证得$\boldsymbol{∠BOC=180°}$
3. $\boldsymbol{直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径}$
【知识点】
圆周角定理；直径与圆周角的关系；三点共线判定
【点评】
本题通过两个互逆的探究过程，引导推导圆周角与直径的关联结论，是圆中构造直角、判定直径的重要依据，属于圆的基础核心结论，需要熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.8
1. 如图3-10，四边形ABCD的各顶点都在$\odot O$上，四边形ABCD是$\odot O$的
内接
四边形，$\odot O$是四边形ABCD的
外接
圆。
2. 如图3-10，在$\odot O$的内接四边形ABCD中。
（1）$∠ A$所对的弧是哪条弧？$∠ C$所对的弧是哪条弧？
（2）$∠ A$与$∠ C$所对的两条弧的度数之和是多少？由此你发现，$∠ A$与$∠ C$有怎样的数量关系？$∠ B$与$∠ D$呢？
图3-10
答案：1. 内接,外接
2. (1) $\overgroup{BCD},\overgroup{BAD}$
(2) $360°,∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°$
解析：
【分析】
第1题可直接结合圆内接四边形、外接圆的定义求解；第2题(1)找圆周角所对的弧时，只需取角的两边与圆的交点所构成的、不包含角顶点的弧即可；第2题(2)先明确整圆周的度数为360°，再结合圆周角定理（圆周角的度数等于其所对弧度数的一半）推导角的数量关系即可。
【解析】
1. 根据定义：若四边形的所有顶点都在同一个圆上，则这个四边形是该圆的内接四边形，该圆是这个四边形的外接圆，因此依次填写内接、外接。
2. (1) 对于圆周角∠A，其两边与圆的交点为B、D，不包含顶点A的弧为$\overgroup{BCD}$，故∠A所对的弧是$\overgroup{BCD}$；
对于圆周角∠C，其两边与圆的交点为B、D，不包含顶点C的弧为$\overgroup{BAD}$，故∠C所对的弧是$\overgroup{BAD}$。
(2) $\overgroup{BCD}$和$\overgroup{BAD}$拼接后为整个圆周，整个圆周对应的弧度数为360°，因此两条弧的度数之和为360°；
根据圆周角定理，$∠ A = \frac{1}{2} × \overgroup{BCD}$的度数，$∠ C = \frac{1}{2} × \overgroup{BAD}$的度数，因此$∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} × (\overgroup{BCD}的度数 + \overgroup{BAD}的度数) = \frac{1}{2} × 360° = 180°$；
同理，∠B和∠D所对的弧拼接后也为整个圆周，因此$∠ B + ∠ D = 180°$。
【答案】
1. 内接，外接
2. (1) $\overgroup{BCD}$，$\overgroup{BAD}$
(2) $360°$；$∠ A+∠ C=180°$；$∠ B+∠ D=180°$
【知识点】
圆内接四边形相关概念；圆周角定理；圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题，侧重对基础定义和定理的考查，熟练掌握相关概念和圆周角定理是解题的关键，掌握本题结论可为后续解决复杂的圆内几何问题奠定基础。
【难度系数】
0.85
1. 将直角三角板摆放在下列圆弧上，其中，圆弧恰好为半圆的是 （
B
）
答案：1. B
解析：
【分析】
解本题的核心是运用圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，对应的弧就是半圆。我们只需要判断哪个选项中，直角三角板的直角顶点在圆弧上，且两条直角边恰好经过圆弧的两个端点，此时该圆弧所对的弦就是直径，对应的弧就是半圆。
【解析】
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦为直径，以直径为弦的劣弧为半圆。
选项A：圆弧的两个端点未与三角板的两个锐角顶点重合，直角的两边没有经过圆弧端点，不符合推论，不是半圆；
选项B：三角板的直角顶点在圆弧上，两条直角边分别经过圆弧的两个端点，说明90°角是该圆弧对应的圆周角，因此圆弧所对的弦是直径，该圆弧为半圆；
选项C：圆弧的两个端点超出三角板两个锐角顶点的位置，直角的两边未经过圆弧端点，不符合推论，不是半圆；
选项D：圆弧仅一个端点与三角板锐角顶点重合，不符合推论，不是半圆。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论、半圆的判定
【点评】
本题是圆周角定理推论的典型应用题目，解题时紧扣“90°圆周角所对的弦是直径”这一结论，结合图形特征即可快速判断，难度较低，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
