1. 下雨天，转动雨伞，会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察，水珠是顺着什么样的方向飞出的？如果将伞面边缘看作一个圆，你能画出水珠飞出的路径吗？
答案：水珠顺着与伞面边缘相切的直线方向飞出，图略
解析：
【分析】
解题时首先将生活中的伞面边缘抽象为数学中的圆，水珠飞出前位于圆周上的某一点。接下来分析水珠飞出的路径为直线，该直线与圆仅在水珠飞出的位置有唯一公共点，结合圆的切线的定义即可判断出水珠飞出的方向。画图时只需过圆周上水珠所在的点，作出该点对应的圆的切线即可。
【解析】
1. 先把伞面边缘抽象成一个圆，附着在伞边缘的水珠对应的位置就是该圆周上的一个点；
2. 当转动雨伞水珠飞出时，水珠的运动路径为直线，且这条直线与代表伞边缘的圆仅在水珠飞出的点处有唯一公共点，符合圆的切线的定义，因此水珠顺着与伞面边缘相切的直线方向飞出；
3. 画图方法：先画一个圆代表伞面边缘，在圆周上任选一点代表水珠飞出的位置，过该点画出圆的切线，这条切线就是水珠飞出的路径。
【答案】
水珠顺着与伞面边缘相切的直线方向飞出，图略
【知识点】
圆的切线定义；直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合生活常见现象考查圆的切线相关知识，能够引导学生建立数学与生活的联系，学会用数学知识解释生活中的实际问题，同时也考查了学生的作图应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 请按照步骤作图：
如图3-11,在$\odot O$上任取一点A,连接OA,过点A画直线$l ⊥ OA$.
3. 根据问题2中所画图形,思考以下问题:
(1) 圆心O到直线$l$的距离与$\odot O$的半径有怎样的关系?
(2) 直线$l$和$\odot O$的位置关系怎样?根据是什么?
(3) 由此你发现了什么?
活动二:想一想 说一说
回忆对切线的认识,归纳有哪些方法可以判定直线与圆相切?
图3-11
答案：2. 略
3. (1) 相等
(2) 相切,根据$d=r$
(3) 圆的切线垂直于圆中过切点的半径
活动二 直线与圆只有一个公共点;圆心到直线的距离等于圆的半径;经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
解析：
【分析】
首先处理作图题：先在圆周上取点A，连接OA后，借助三角板的直角边，将一条直角边与OA重合，直角顶点对准A点，沿另一条直角边画直线即可得到垂直于OA的直线l。
再解答3的三个小问：(1)圆心到直线的距离是点O到l的垂线段长度，已知l⊥OA，OA就是O到l的垂线段，OA是半径，因此距离等于半径；(2)回忆直线与圆位置关系的判定规则，d=r时直线与圆相切，即可得出结论；(3)结合作图和前两问的结论，总结切线的相关性质与判定规律。
最后归纳切线判定方法：从公共点个数、圆心到直线的距离与半径的关系、切线判定定理三个维度梳理即可。
【解析】
2. 作图步骤：①在⊙O的圆周上任意选取一点A；②用直尺连接OA；③将三角板的一条直角边与OA重合，使三角板的直角顶点与点A重合，沿三角板的另一条直角边画直线l，直线l即为所求。
3. (1) 已知直线$l ⊥ OA$，点O到直线l的垂线段就是OA，OA是⊙O的半径，因此圆心O到直线l的距离和⊙O的半径相等。
(2) 直线与圆的位置关系可通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：当$d=r$时，直线与圆相切，本题中$d=OA=r$，因此直线l和⊙O相切。
(3) 结合作图和推导结论可得出：圆的切线垂直于圆中过切点的半径，反之经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。
活动二：判定直线与圆相切可从三个角度判断：①看公共点个数：直线与圆只有一个公共点时，直线是圆的切线；②看距离与半径的关系：圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线是圆的切线；③用判定定理判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
【答案】
2. 略
3. (1) 相等
(2) 相切,根据$d=r$
(3) 圆的切线垂直于圆中过切点的半径
活动二 直线与圆只有一个公共点;圆心到直线的距离等于圆的半径;经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】
垂线的画法、直线与圆的位置关系、切线的判定
【点评】
本题通过动手作图的方式引导学生自主探究切线的判定方法，由具象操作到抽象规律总结，侧重对基础概念和判定规则的考查，有助于加深对切线相关知识的理解。
【难度系数】
0.85
1. 如图，AB为$\odot O$的直径，BC为$\odot O$的切线，AC交$\odot O$于点D，图中互余的角有 （
D
）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案：D
解析：
【分析】
解题时先结合已知条件回忆相关性质：首先切线垂直于过切点的半径，可得AB与BC垂直，得到第一个直角；再根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ADB为直角。互余的角即和为90°的两个角，围绕找到的直角，逐一梳理相加等于90°的角对即可，注意不要漏数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，BC为$\odot O$的切线，
∴AB⊥BC，即$∠ ABC=90°$，
∴$∠ BAC + ∠ C = 90°$，$∠ ABD + ∠ DBC = 90°$；
∵AB为$\odot O$的直径，点D在$\odot O$上，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∴$∠ BAC + ∠ ABD = 90°$；
又
∵$∠ BDC=180°-∠ ADB=90°$，
∴$∠ DBC + ∠ C = 90°$。
综上，共有4对互余的角。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；余角的定义
【点评】
本题属于基础综合题，需要结合圆的性质和余角的概念求解，解题的关键是先确定图中的直角，再有序列举互余的角，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.7
2. 如图，直线$a⊥b$，垂足为$H$，点$P$在直线$b$上，$PH=4$，$O$为直线$b$上一动点，以$O$为圆心，1为半径画圆，当$\odot O$与直线$a$相切时，$OP$的长为________。
答案：3或5
解析：
【分析】
解题时先根据直线与圆相切的性质，确定圆心O到直线a的距离等于圆的半径1，结合a⊥b可知OH=1；由于O是直线b上的动点，需分O在H的左侧、O在H的右侧两种情况讨论，再结合PH=4，通过线段的和差计算即可求出OP的长度。
【解析】
解：
∵直线$a⊥b$，$\odot O$与直线$a$相切，$\odot O$的半径为1，
∴圆心$O$到直线$a$的距离等于半径，即$OH=1$。
分两种情况讨论：
①当点$O$在点$H$的左侧时，$OP=PH - OH=4 - 1=3$；
②当点$O$在点$H$的右侧时，$OP=PH + OH=4 + 1=5$。
综上，$OP$的长为3或5。
【答案】
3或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题考查直线与圆相切的性质应用，解题的关键是考虑到圆心O的位置有两种情况，避免因漏解导致错误，属于基础类题型，侧重考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
