【分析】
要证明AC是$\odot O$的切线，需结合切线的判定思路分析：若未知直线与圆的公共点，就过圆心作该直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径。首先已知AB是$\odot O$的切线，可得圆心O到AB的距离等于$\odot O$的半径；再结合$AB=AC$、O是BC中点的条件，由等腰三角形三线合一可知AO平分$∠ BAC$，最后利用角平分线的性质，就能推出O到AC的距离等于O到AB的距离，也就是等于$\odot O$的半径，即可完成证明。
【解析】
证明：过点$O$作$OE⊥AC$，垂足为$E$，连接$OD$、$OA$。
1. 因为$\odot O$与$AB$相切于点$D$，根据切线的性质，得$OD⊥AB$，且$OD$是$\odot O$的半径。
2. 因为$AB=AC$，$O$是$BC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得$AO$平分$∠ BAC$。
3. 因为$OE⊥AC$，$OD⊥AB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得$OE=OD$。
4. 因此$OE$的长度等于$\odot O$的半径，又因为$OE⊥AC$，根据切线的判定定理，可得$AC$是$\odot O$的切线。
【答案】
$AC$是$\odot O$的切线，得证。
【知识点】
切线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质
【点评】
本题是切线证明的典型基础题，核心是掌握切线的两类证明思路：已知直线与圆有公共点时，连半径证垂直；未知公共点时，作垂直证半径。本题需要结合等腰三角形、角平分线的性质推导距离相等，能很好地考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明DC是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明DC垂直于$\odot O$的半径OD，因此首先连接OD。已知BC是$\odot O$的切线，可得$∠ OBC=90°$，因此只需证明$∠ ODC=∠ OBC$即可，可通过证明$△ OBC$和$△ ODC$全等来实现。接下来找全等条件：OD和OB都是$\odot O$的半径，故$OB=OD$，OC是两个三角形的公共边，还需证明夹角$∠ BOC=∠ DOC$。结合已知$AD// OC$，利用平行线的性质和等腰三角形等边对等角的性质，可推出两个角相等，进而证明全等，得到$∠ ODC=90°$，即可完成证明。
【解析】
证明：连接$OD$，
$\because BC$与$\odot O$相切于点$B$，$AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore OB⊥ BC$，即$∠ OBC=90°$，
$\because AD// OC$，
$\therefore ∠ OAD=∠ BOC$（两直线平行，同位角相等），$∠ ADO=∠ DOC$（两直线平行，内错角相等），
$\because OA=OD$（$\odot O$的半径相等），
$\therefore ∠ OAD=∠ ADO$，
$\therefore ∠ DOC=∠ BOC$，
在$△ OBC$和$△ ODC$中：
$\begin{cases}OB=OD\\∠ BOC=∠ DOC\\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ OBC≌△ ODC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OBC=90°$，即$OD⊥ DC$，
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore DC$是$\odot O$的切线。
【答案】
连接$OD$,证明$△ OBC≌△ ODC$,可得$∠ ODC=∠ OBC=90°$，故$DC$是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题是切线判定的常规题型，解题的关键是正确连接辅助线，将证明切线的问题转化为证明半径与直线垂直的问题，需要熟练掌握平行线性质、等腰三角形性质及全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7

【分析】
拿到本题，首先结合已知条件“BC与$\odot O$相切于点C”，优先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此第一步连接OC，可得到$Rt△ BOC$。已知$∠ B=26°$，可先求出$∠ BOC$的度数。要求$∠ DEC$，观察图形可知$∠ DEC$与$∠ AEO$是对顶角，二者相等，因此只需计算$∠ AEO$的度数即可。$∠ BOC$是$△ AOE$的外角，根据三角形外角性质，结合已知$∠ A=26°$，即可求出$∠ AEO$，最终得到$∠ DEC$的度数。
【解析】
连接$OC$，
$\because$ 直线$BC$与$\odot O$相切于点$C$，
$\therefore OC⊥ BC$，即$∠ OCB=90°$，
在$Rt△ BOC$中，$∠ B=26°$，
$\therefore ∠ BOC=90°-∠ B=90°-26°=64°$，
$\because ∠ BOC$是$△ AOE$的外角，
$\therefore ∠ BOC=∠ A+∠ AEO$，
已知$∠ A=26°$，代入得：
$∠ AEO=∠ BOC-∠ A=64°-26°=38°$，
又$\because ∠ DEC$与$∠ AEO$是对顶角，
$\therefore ∠ DEC=∠ AEO=38°$。
【答案】
$38°$
【知识点】
切线的性质；三角形外角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题关键是利用切线性质构造直角三角形，再结合三角形外角和对顶角的性质转化角度关系，只要熟练掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题需分情况讨论$\odot P$与正方形边相切的两种情形：首先根据正方形性质得$MB=4$，$△ MBP$为直角三角形，设$BP=x$，用勾股定理表示出半径$PM$，再结合“直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径”分别列方程求解即可，注意不要遗漏相切的情况。
【解析】
已知正方形$ABCD$边长为8，$M$是$AB$的中点，因此$MB=\frac{1}{2}AB=4$，$∠ B=90°$。设$BP=x$，由勾股定理可得$\odot P$的半径$PM=\sqrt{MB^2+BP^2}=\sqrt{x^2+16}$，分两种情况讨论：
1. 当$\odot P$与边$CD$相切时：
圆心$P$到$CD$的距离为$PC=8-BP=8-x$，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，因此$PM=PC$，即：
$\sqrt{x^2+16}=8-x$
两边平方得$x^2+16=64-16x+x^2$，化简得$16x=48$，解得$x=3$，符合题意。
2. 当$\odot P$与边$AD$相切时：
圆心$P$到$AD$的距离等于正方形的边长8，根据切线的性质，$PM=8$，即：
$\sqrt{x^2+16}=8$
两边平方得$x^2+16=64$，解得$x^2=48$，因线段长度为正，故$x=4\sqrt{3}$，符合题意。
综上，$BP$的长为3或$4\sqrt{3}$。
【答案】
$3或4\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题重点考查直线与圆的位置关系，解题关键是明确相切的分类情况，结合勾股定理列方程求解，做题时要注意全面考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证$AD\bot ED$，结合ED是圆的切线，先连接OC，利用切线性质得$OC\bot ED$，再通过角平分线和等腰三角形等边对等角的性质推导内错角相等，证明$OC// AD$，即可由平行线的性质得到$AD\bot ED$。
(2) 先利用直径所对圆周角为直角得$BF\bot AD$，结合(1)的垂直结论可证四边形CDFH是矩形，得到$FH=CD=4$，再由垂径定理得BF的长，最后在$Rt△ ABF$中用勾股定理求直径AB，即可得到圆的半径。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$，
∵ $AC$平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAC = ∠ CAD$，
∵ $OA$、$OC$均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，
∴ $∠ BAC = ∠ OCA$，
∴ $∠ CAD = ∠ OCA$，
∴ $OC// AD$（内错角相等，两直线平行），
∵ $ED$与$\odot O$相切于点$C$，
∴ $OC\bot ED$（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ $AD\bot ED$。
(2) 解：设$OC$与$BF$交于点$H$，
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AFB = 90°$（直径所对的圆周角是直角），即$BF\bot AD$，
由(1)知$AD\bot ED$，$OC\bot ED$，
∴ $∠ D = ∠ HCD = ∠ HFD = 90°$，
∴ 四边形$CDFH$是矩形，
∴ $FH = CD = 4$，且$OC\bot BF$，
由垂径定理可得$BH=FH=4$，
∴ $BF = BH + FH = 8$，
在$Rt△ ABF$中，$∠ AFB=90°$，$AF=2$，$BF=8$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AF^2 + BF^2} = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$，
∴ $\odot O$的半径为$\frac{1}{2}AB = \sqrt{17}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\sqrt{17}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将切线性质、平行线判定、矩形判定、垂径定理和勾股定理结合考查，解题的关键是合理连接辅助线，将已知条件转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.6