【分析】
首先解决活动一的圆心角问题：周角为$360°$，将周角$n$等分后，每份圆心角的度数就是周角除以等分数$n$。再看活动二第2题：要从正三角形中剪出正六边形，需利用正六边形各边相等、各内角为$120°$的性质，推导出剪去的三个三角形均为等边三角形，且正六边形的边长等于原正三角形边长的$\frac{1}{3}$；计算面积时可通过分割法，将正六边形拆为6个边长相等的等边三角形求解即可。
【解析】
活动一
周角总度数为$360°$，将其$n$等分后，每个圆心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
活动二第2题
需在正三角形$ABC$的三个角上各剪去1个全等的等边三角形，即可得到正六边形$DEGKHF$，推导面积过程如下：
$\because$ 六边形$DEGKHF$是正六边形
$\therefore ∠EDF=120°$，$DE=DF$
$\therefore ∠ADE=180°-120°=60°$，同理$∠AED=60°$
$\therefore △ ADE$是等边三角形，即$AD=DE=AE$
同理可得$BH=BF=FH$，$CG=GK=CK$
结合$DE=DF=FH$，可得$AD=DF=BF=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×6=2\mathrm{cm}$
边长为$a$的等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，因此$S_{△ ADE}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
正六边形可拆分为6个与$△ ADE$全等的等边三角形，因此：
$S_{\mathrm{正六边形}DEGKHF} = 6S_{△ ADE} = 6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
【答案】
活动一：$\dfrac{360°}{n}$
活动二第2题：正六边形的面积为$6\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 正多边形的性质
3. 等边三角形面积计算
【点评】
本题围绕正多边形的基础性质设计，既考察了正多边形和圆的对应关系，又结合等边三角形的性质考察了图形分割与面积计算，注重对基础概念的理解和应用，是正多边形相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决这道题需要结合多边形的基本性质和正多边形的特点逐步推导：①首先回忆多边形内角和的推导逻辑：任意n边形都可以分割成(n-2)个三角形，三角形内角和为180°，由此可推出内角和公式；②任意多边形的外角和都是固定值360°，正n边形的n个外角大小完全相等，因此用外角和除以边数就能得到单个外角的度数；③正n边形的n个内角大小相等，用内角和除以边数即可得到单个内角的度数，也可利用“内角与相邻外角互补”的关系计算，结果一致。
【解析】
1. 正n边形属于多边形，适用通用多边形内角和公式，因此正n边形内角和的度数为$(n-2)·180°$；
2. 所有多边形的外角和均为$360°$，正n边形各外角相等，因此每一个外角的度数为$\dfrac{360°}{n}$；
3. 正n边形各内角相等，因此每一个内角的度数为内角和除以边数，即$\dfrac{(n-2)·180°}{n}$，也可通过$180°-\dfrac{360°}{n}$推导得到相同结果。
【答案】
$(n-2)· 180°, \dfrac{360°}{n}, \dfrac{(n-2)180°}{n}$
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质；正多边形的性质
【点评】
本题是正多边形角度相关的基础题型，核心考察基础公式的记忆与直接应用，熟练掌握这些公式是解决后续正多边形与圆结合的计算、证明类题目的基础。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题思路如下：首先回忆正多边形的基本性质，正八边形的8条边长全部相等，因此周长等于边长乘以8；其次可通过两种方法求解周长比：方法一，分别计算两个正八边形的周长，再求比值化简；方法二，所有正八边形都是相似图形，根据相似多边形的性质，相似图形的周长比等于对应边的比（即相似比），可直接通过边长比得到周长比，两种方法都能快速得到结果，无需复杂计算。
【解析】
方法1：正八边形的各边长度相等，周长=8×边长。
边长为3的正八边形周长：$C_1=8×3=24$
边长为4的正八边形周长：$C_2=8×4=32$
则周长比为 $C_1:C_2=24:32=3:4$
方法2：所有正八边形均为相似图形，根据相似多边形的性质，相似图形的周长比等于对应边长的比。
已知两个正八边形的边长比为$3:4$，因此周长比为$3:4$。
【答案】
$3:4$
【知识点】
正多边形的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对正多边形基本特征和相似图形性质的掌握，两种解题思路都较为直观，计算量小，熟练掌握相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先回忆正多边形的相关性质：正多边形的每个内角相等、每个外角也相等，且任意一个内角和它相邻的外角是邻补角，和为180°；同时所有多边形的外角和恒为360°。我们可以先根据“外角等于内角”的条件求出单个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数得到正多边形的边数，即可确定对应的图形。
【解析】
设该正多边形的一个内角为$ x° $，则与其相邻的外角也为$ x° $。
∵ 内角和相邻外角为邻补角，和为$ 180° $
∴ $ x + x = 180 $
解得$ x=90 $，即该正多边形的每个外角为$ 90° $
∵ 任意多边形外角和均为$ 360° $
∴ 该正多边形的边数$ n=360°÷90°=4 $
边数为4的正多边形是正方形。
【答案】
正方形
【知识点】
正多边形的性质、邻补角性质、多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查正多边形内角与外角的相关性质，解题关键是牢记多边形外角和固定为360°的特点，结合邻补角的数量关系就能快速推导结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先明确正三角形的半径即其外接圆的半径，解决正多边形相关计算的核心思路是将正多边形问题转化为解直角三角形的问题：正多边形的半径、边心距、边长的一半可构成直角三角形，中心角的一半是该直角三角形的一个锐角。第一步先计算正三角形的中心角，得到直角三角形的锐角度数，结合已知边长求出半径；第二步可直接用正三角形面积公式，或通过边心距、周长计算正多边形面积。
【解析】
1. 求正三角形的半径：
设正三角形为ABC，其外接圆圆心（即正三角形的中心）为O，过点O作OD⊥AB于点D。
由正多边形的性质可得：$AD = \frac{1}{2}AB = 6÷2 = 3\ \mathrm{cm}$，
中心角$∠ AOB = 360°÷3 = 120°$，因此$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOB = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$\sin∠ AOD = \frac{AD}{OA}$，
所以外接圆半径$OA = \frac{AD}{\sin60°} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 求正三角形的面积：
使用正三角形面积公式$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），
代入$a=6$得：$S = \frac{\sqrt{3}}{4} × 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} ×36 = 9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$2\sqrt{3}$，$9\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形性质，解直角三角形，正三角形面积计算
【点评】
本题属于正多边形与圆的基础计算题，解题关键是掌握正多边形的“半径、边心距、半边长构成直角三角形”的常用模型，将正多边形问题转化为解直角三角形问题即可快速求解，是正多边形相关考点的常见考查题型。
【难度系数】
0.8