【分析】
解题时需逐一判断4个命题的真假，首先回忆三角形外接圆、内切圆的定义和性质，以及圆的内接三角形、外切三角形的概念：先判断与三角形相关的外接圆、内切圆的唯一性，再判断与圆相关的内接、外切三角形的唯一性，最终统计真命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析命题：
1. 命题①：三角形的外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），任意三角形的三边垂直平分线有且只有1个交点，外接圆半径为外心到三角形顶点的距离，半径唯一，因此任意三角形有且只有1个外接圆，①是真命题。
2. 命题②：在圆上任取3个不共线的点，顺次连接得到的三角形都是该圆的内接三角形，这样的三角形有无数个，因此②是假命题。
3. 命题③：三角形的内切圆圆心是三角形三个内角角平分线的交点（内心），任意三角形的内角角平分线交点有且只有1个，内切圆半径为内心到三角形边的距离，半径唯一，因此任意三角形有且只有1个内切圆，③是真命题。
4. 命题④：任作三条均与圆相切且两两相交的直线，三条直线围成的三角形都是该圆的外切三角形，这样的三角形有无数个，因此④是假命题。
综上，真命题为①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形外接圆性质，三角形内切圆性质，圆的内接与外切三角形
【点评】
本题侧重考查对圆和三角形相关位置关系概念的辨析，解题的关键是明确“三角形的外接圆、内切圆都是唯一的，而一个圆的内接三角形、外切三角形都有无数个”，避免混淆两类概念的唯一性特征即可正确解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离都等于内切圆半径r。我们可以用割补法推导面积：把大三角形分割成分别以三边为底、以内切圆半径为高的3个小三角形，大三角形的面积就等于3个小三角形的面积之和，再结合周长是三边长度之和的定义，就能推导出最终的面积表达式。
【解析】
设$△ ABC$的内切圆圆心为$O$，连接$OA$、$OB$、$OC$，将$△ ABC$分割为$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OAC$三个小三角形。
∵$O$是$△ ABC$的内心，
∴$O$到$△ ABC$三边的距离都等于内切圆半径$r$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}· AB· r$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}· BC· r$，$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}· AC· r$。
则$△ ABC$的总面积：
$S=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}· AB· r+\frac{1}{2}· BC· r+\frac{1}{2}· AC· r$
$=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$
又
∵$△ ABC$的周长$l=AB+BC+AC$，代入上式得：
$S=\frac{1}{2}lr$
【答案】
$\frac{1}{2}lr$
【知识点】
1.三角形内切圆性质
2.割补法求面积
3.三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础推导题，解题的核心是利用内心到三边距离相等的性质，将大三角形拆分为三个等高的小三角形求和，推导得到的结论可以直接记忆，用于相关题目的快速计算。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题需分别结合三角形内心、外心的性质计算角度。①当I是内心时，先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再根据内心是角平分线交点，得到∠IBC、∠ICB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠IBC与∠ICB的和，最后再次用三角形内角和算出∠BIC；②当I是外心时，明确外心是外接圆圆心，∠A是弧BC对应的圆周角，∠BIC是弧BC对应的圆心角，根据圆周角定理直接计算即可。
【解析】
1. 当I是△ABC的内心时：
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 72° = 108°$
∵I是内心，即三角形三条角平分线的交点
∴IB平分$∠ ABC$，IC平分$∠ ACB$，即$∠ IBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ IBC + ∠ ICB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×108° = 54°$
在△IBC中，$∠ BIC = 180° - (∠ IBC + ∠ ICB) = 180° - 54° = 126°$
2. 当I是△ABC的外心时：
∵I是外心，即三角形外接圆的圆心
∴$∠ A$是弧BC所对的圆周角，$∠ BIC$是弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴$∠ BIC = 2∠ A = 2×72° = 144°$
【答案】
$126°,144°$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的性质；圆周角定理
【点评】
本题重点考查三角形两种特殊“心”的性质区别，只要准确记忆内心、外心的定义和对应的角度规律，就能快速求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先利用切线的性质得到OF与AB垂直、OE与AC垂直，得到两个直角；再在四边形AEOF中利用四边形内角和为360°，结合已知的∠EOF的度数求出∠A的度数；最后在△ABC中利用三角形内角和为180°，结合已知的∠C的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
∵⊙O与△ABC的边AB、AC分别切于点F、E，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴∠AFO=∠AEO=90°。
在四边形AEOF中，内角和为360°，
∴∠A + ∠AFO + ∠AEO + ∠EOF = 360°，
代入∠EOF=100°，∠AFO=∠AEO=90°，得：
∠A = 360° - 90° - 90° - 100° = 80°。
在△ABC中，内角和为180°，
∴∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 80° - 60° = 40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；三角形内角和
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是熟练掌握切线的性质，结合多边形内角和公式即可逐步推导得到结果，解题时注意步骤逻辑清晰即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断DO和DB的关系，可通过证明△OBD是等腰三角形得到结论。首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，可得角相等关系；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得到另一组角相等；最后利用三角形外角的性质，推导∠OBD和∠BOD相等，根据等角对等边即可得线段关系。
【解析】
连接BO，
∵ O是△ABC的内心，
∴ AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，
∴ ∠BAD = ∠CAD，∠ABO = ∠CBO。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠DBC和∠DAC都是弧DC所对的圆周角，
∴ ∠DBC = ∠DAC = ∠BAD。
∵ ∠OBD = ∠CBO + ∠DBC，∠BOD是△ABO的外角，
∴ ∠BOD = ∠BAD + ∠ABO。
结合∠CBO=∠ABO，∠DBC=∠BAD，可得∠OBD = ∠BOD，
∴ △OBD是等腰三角形，DO = DB。
【答案】
A
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合了三角形内心、圆周角、等腰三角形相关知识，解题核心是通过角的等量代换证明两角相等，进而得到边相等，对几何逻辑推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求解第一问首先明确海伦公式中各参数的含义：a、b、c为三角形三边长，p为半周长，即$p=\frac{a+b+c}{2}$。首先根据已知的三边长计算出p的值，再将p和三边长代入海伦公式，化简计算即可得到三角形面积。
(2) 求解第二问可利用三角形内切圆的性质推导的面积公式：内切圆圆心到三边的距离均等于半径r，可将△ABC分割为三个分别以BC、AC、AB为底，r为高的小三角形，三个小三角形面积之和等于△ABC的面积，因此可得$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$。将第一问求出的面积和三边长代入该公式，解方程即可求出r的值。
【解析】
(1) 已知在△ABC中，$BC=a=5$，$AC=b=6$，$AB=c=9$，
首先计算半周长：$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+6+9}{2}=10$，
代入海伦公式得：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10×(10-5)×(10-6)×(10-9)}=\sqrt{10×5×4×1}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$。
(2) 根据三角形内切圆对应的面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，
将$S=10\sqrt{2}$，$a+b+c=5+6+9=20$代入公式得：
$10\sqrt{2}=\frac{1}{2}×20× r$，
化简得$10\sqrt{2}=10r$，
解得$r=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $10\sqrt{2}$；(2) $r=\sqrt{2}$
【知识点】
海伦公式的应用，三角形内切圆性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是对相关公式的记忆和应用，计算过程中注意根式的化简即可顺利得分。
【难度系数】
0.7