【分析】
要计算曲线CDEF的长度，首先明确该曲线是由$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$、$\overset{\frown}{EF}$三段圆弧拼接而成，只需分别求出三段弧的长度再求和即可。解题思路如下：1. 结合正三角形性质，确定每段弧对应的圆心角：正三角形每个内角为$60°$，因此每段弧的圆心角均为$180°-60°=120°$；2. 依次确定三段弧的半径：$\overset{\frown}{CD}$以A为圆心，半径等于正三角形边长1；$\overset{\frown}{DE}$以B为圆心，半径为$1+1=2$；$\overset{\frown}{EF}$以C为圆心，半径为$1+2=3$；3. 代入弧长公式分别计算三段弧长，相加得到总长度。
【解析】
解：
∵$△ ABC$是正三角形，$AB=1$
∴$AC=BC=AB=1$，$∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$
可得三段弧对应的圆心角均为$180°-60°=120°$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径）：
1. $\overset{\frown}{CD}$的长：$l_1=\frac{120π×1}{180}=\frac{2π}{3}$
2. $\overset{\frown}{DE}$的长：$l_2=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$
3. $\overset{\frown}{EF}$的长：$l_3=\frac{120π×3}{180}=2π$
曲线CDEF的总长$=l_1+l_2+l_3=\frac{2π}{3}+\frac{4π}{3}+2π=4π$
【答案】
$4π$
【知识点】
弧长计算；正三角形的性质；扇形的认识
【点评】
本题属于弧长公式的基础应用类题目，解题的核心是准确找到每段圆弧对应的圆心角和半径，再代入公式计算即可，易错点是混淆各段弧的半径。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决这道题的核心是先确定点B的运动路径：三角形沿直线翻动时，点B的运动轨迹是两段圆弧。首先回忆等边三角形内角为60°，每次翻动时三角形绕直线l上的顶点旋转的角度为180°-60°=120°，旋转半径等于等边三角形的边长1cm。点B从初始位置到再次落在直线l上共经历2次旋转，分别计算两段圆弧的长度再求和即可。
【解析】
已知等边三角形ABC的边长为1cm，每个内角为60°。
1. 第一次翻动：△ABC绕点C顺时针旋转120°，点B的运动轨迹是圆心为C、半径r=1cm、圆心角n=120°的圆弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，这段弧长为：
$l_1=\frac{120π×1}{180}=\frac{2π}{3}\ \mathrm{cm}$
2. 第二次翻动：旋转后的三角形绕落在直线l上的点A顺时针再旋转120°，点B的运动轨迹是圆心为A、半径r=1cm、圆心角n=120°的圆弧，这段弧长为：
$l_2=\frac{120π×1}{180}=\frac{2π}{3}\ \mathrm{cm}$
3. 点B经过的总路径长为两段弧长之和：
$l=l_1+l_2=\frac{2π}{3}+\frac{2π}{3}=\frac{4π}{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，等边三角形的性质，旋转的性质
【点评】
本题的易错点是容易搞错点B的旋转次数和旋转角度，解题时要结合图形的翻动过程，逐一确认每段运动轨迹的圆心、半径和圆心角，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题的突破口是利用阴影面积相等进行面积转化：两个阴影部分分别加上中间的公共空白部分后，可得等腰直角三角形ABC的面积与扇形ADF的面积相等。再结合Rt△ABC是等腰直角三角形可知∠A=45°，分别表示出三角形和扇形的面积，建立等式即可求出AC与AF的比值。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC$，
∴$∠ A=45°$。
∵图中两个阴影部分的面积相等，
∴$S_{△ABC}=S_{\mathrm{扇形}ADF}$。
设$AC=a$，$AF=r$（$AF$为扇形$ADF$的半径），
则$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}a^2$，
$S_{\mathrm{扇形}ADF}=\frac{45°}{360°}×π r^2=\frac{1}{8}π r^2$，
∴$\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{8}π r^2$，
整理得$4a^2=π r^2$，即$\frac{a^2}{r^2}=\frac{π}{4}$，
∵$a$、$r$均为正数，
∴$\frac{a}{r}=\frac{\sqrt{π}}{2}$，即$AC:AF=\frac{\sqrt{π}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{π}}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，扇形面积计算，面积等量代换
【点评】
本题侧重考查几何图形的面积转化能力，解题关键是通过阴影面积相等推导出三角形和扇形的面积相等，再结合对应面积公式建立比例关系，找准等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.6

【分析】
要计算“蘑菇”形阴影的面积，首先明确阴影是半径为4的扇形，因此核心是求出该扇形的圆心角。第一步先计算正五边形的内角度数，再结合周角的度数求出扇形圆心角，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$。
2. 计算阴影扇形的圆心角：
周角为$360°$，两个正五边形在公共顶点$O$处的内角和为$2×108°=216°$，因此阴影扇形的圆心角为$360°-216°=144°$。
3. 计算扇形面积：
已知扇形半径$r=4$，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），代入得：
$S=\frac{144π×4^2}{360}=\frac{144×16π}{360}=\frac{32}{5}π$
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，扇形面积计算
【点评】
本题是多边形与扇形面积的综合基础题，解题的关键是准确求出阴影扇形的圆心角，熟记相关公式就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路如下：首先根据圆与x轴相切的性质及点P的坐标，确定圆的半径长度；其次分析圆的滚动过程，点A第一次落在x轴上时，滚动过的弧长对应∠APO=120°对应的劣弧长，利用弧长公式计算这段弧长；最后根据圆无滑动滚动的特点，圆心水平移动的距离等于滚动过的弧长，此时落在x轴上的点A的横坐标等于移动距离，纵坐标为0，即可得到A的坐标。
【解析】
解：
∵⊙P与x轴相切于点O，点P坐标为(0,1)，
∴⊙P的半径$ r = OP = 1 $。
当点A第一次落在x轴上时，⊙P无滑动滚动过的弧长等于劣弧OA的长度，已知$ ∠APO=120° $，根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $可得：
$ l_{\overset{\frown}{OA}}=\frac{120×π×1}{180}=\frac{2}{3}π $。
∵圆沿x轴正方向无滑动滚动时，滚动过的水平距离等于对应弧长，此时点A是⊙P与x轴的切点，纵坐标为0，横坐标等于滚动过的水平距离，
∴点A的坐标为$ ( \frac{2}{3}π,0 ) $。
【答案】
$( \dfrac{2}{3}π,0 )$
【知识点】
切线的性质；弧长计算；圆的滚动规律
【点评】
本题结合图形运动考查圆的相关性质，解题的关键是准确把握圆无滑动滚动时移动距离和对应弧长的等量关系，同时要正确识别滚动过程中对应的圆心角，对图形运动的分析能力有一定考查。
【难度系数】
0.6