【分析】
解题时首先观察到AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可构造直角三角形ABC，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，可知∠ADC与∠ABC相等，即可得出所求角度。
【解析】
连接BC，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=50°$，
∴$∠ ABC=90°-∠ BAC=90°-50°=40°$，
又
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ ADC=∠ ABC=40°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$40°$
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆中角度计算的常规基础题，核心是利用圆周角的相关性质完成角度的推导，解题关键是结合直径的特征构造直角三角形，再通过同弧所对圆周角相等完成角度转换，属于圆周角相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先确定圆心坐标，再判断点P和圆的位置关系，接着明确过圆内一点的弦长的取值规律：最长弦为直径，最短弦是与该点和圆心连线垂直的弦，最后在取值范围内找所有整数即可。第一步先根据点A坐标和圆半径求圆心B的坐标，第二步计算点P到B的距离，第三步分别求最短、最长弦长，确定弦长的取值范围，最后统计整数值的个数。
【解析】
1. 求圆心B的坐标：
∵⊙B半径为5，圆心在y轴负半轴，与y轴正半轴交于A(0,1)，
∴B点纵坐标为$1-5=-4$，即$B(0,-4)$。
2. 计算点P到圆心的距离：
已知$P(0,-7)$，则$BP=|-4-(-7)|=3＜5$，说明点P在⊙B内部。
3. 确定弦CD的取值范围：
① 过圆内一点的最长弦为直径，因此CD的最大值为$2×5=10$；
② 过圆内一点的最短弦为垂直于BP的弦，根据垂径定理和勾股定理：
半弦长$=\sqrt{r^2-BP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此最短CD长为$4×2=8$。
综上，弦CD的长度范围为$8≤ CD≤10$。
4. 统计整数值个数：
CD的整数值为8、9、10，共3个。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题核心是掌握圆内弦长的取值规律，结合垂径定理和勾股定理即可快速求出弦长范围，解题时注意不要遗漏中间的整数值。
【难度系数】
0.7

【分析】
要在三角形上剪下最大的圆，这个圆就是三角形的内切圆，内切圆半径可通过面积法求解。解题思路如下：1. 先判断该三角形是腰长5cm、底边长6cm的等腰三角形，利用勾股定理求出三角形的高，进而算出三角形面积；2. 根据“三角形面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的一半”这一关系，变形得到内切圆半径公式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：三角形中能剪下的最大圆是它的内切圆，即求该三角形的内切圆半径。
1. 计算三角形面积：
该三角形是等腰三角形，底边长为6cm，过顶点作底边的高，由等腰三角形三线合一可知，底边被高分为两段，每段长为$6÷2=3\mathrm{cm}$。
由勾股定理可得高$h=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$。
则三角形面积$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×6×4=12\ \mathrm{cm^2}$。
2. 计算内切圆半径r：
三角形周长$C=6+5+5=16\ \mathrm{cm}$。
三角形面积可表示为$S=\frac{1}{2}× C× r$（原理：连接内切圆圆心与三角形三个顶点，将原三角形分为3个高都为r的小三角形，三个小三角形面积和等于原三角形面积）。
变形得$r=\frac{2S}{C}$，代入数值：
$r=\frac{2×12}{16}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形内切圆性质；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题主要考查三角形内切圆半径的计算，解题的关键是明确三角形内最大圆为内切圆，结合面积法建立半径与三角形面积、周长的关系，同时用到了等腰三角形和勾股定理的相关知识，是几何中比较典型的基础应用题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要确定到A、B、C三点距离相等的点P，依据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此只需作出任意两条线段（如AB、BC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求的点P。
（2）点P到三个顶点距离相等，说明P是△ABC的外心，即△ABC外接圆的圆心。此时∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BPC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入已知角度即可计算出∠BPC的度数。
【解析】
（1）① 连接AB、BC；② 分别用尺规作线段AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为点P，作图即可。（作图略）
（2）
∵ 点P到A、B、C三点的距离相等，
∴ P是△ABC外接圆的圆心，
∴ ∠BPC和∠BAC分别是同弧BC所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得：
$∠ BPC=2∠ BAC$，
∵ $∠ BAC=66°$，
∴ $∠ BPC=2×66°=132°$。
【答案】
(1) 略
(2) $132°$
【知识点】
线段垂直平分线性质、圆周角定理、三角形外心的定义
【点评】
本题结合生活实际考查基础几何定理的应用，解题关键是理解到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，再结合圆周角定理即可快速求解，作图时要注意尺规作图的规范性。
【难度系数】
0.75

【分析】
解题时首先利用正多边形外角和为360°的性质，结合已知外角度数求出正多边形的边数；其次计算正多边形的中心角，确定∠AOD的度数；最后根据正多边形中心到各顶点距离相等，可得△OAD为等腰三角形，结合三角形内角和定理即可求出∠OAD的度数。
【解析】
1. 计算正多边形的边数：正多边形的外角和恒为$360°$，已知该正多边形的一个外角为$40°$，因此边数$n=360°÷40°=9$，即该多边形为正九边形。
2. 计算中心角∠AOD的度数：正九边形的每个中心角为$360°÷9=40°$，观察图形可知点A到点D之间间隔3条边，因此$∠ AOD=3×40°=120°$。
3. 计算∠OAD的度数：因为O是正多边形的中心，所以$OA=OD$，$△ OAD$为等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OAD=(180°-∠ AOD)÷2=(180°-120°)÷2=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将正多边形的外角、中心角计算和等腰三角形的角度计算结合考查，解题的关键是先求出正多边形的边数，再准确确定对应中心角的度数。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时需结合正六边形的性质，利用分类讨论思想分两种情况分析：①AB为直角三角形的直角边，分别过点A、B作AB的垂线，找出垂线上的格点即为符合条件的点C；②AB为直角三角形的斜边，根据“直径所对的圆周角为直角”，找出以AB为直径的圆经过的格点即为符合条件的点C，最后将两种情况的点C个数相加即可。
【解析】
我们分两类讨论满足条件的点C：
1. 当AB为直角三角形的直角边时：
① 直角顶点为A：过点A作AB的垂线，该垂线经过的格点共有4个，即符合条件的点C有4个；
② 直角顶点为B：过点B作AB的垂线，该垂线经过的格点共有4个，即符合条件的点C有4个；
2. 当AB为直角三角形的斜边时：
根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，因此点C需落在以AB为直径的圆上，结合格点位置，符合条件的点C共有2个。
综上，满足条件的点C总个数为$4+4+2=10$个。
【答案】
D
【知识点】
正六边形的性质；直角三角形的判定；圆周角定理
【点评】
本题解题关键是运用分类讨论思想，将问题拆分为AB作直角边和斜边两种情况分别计数，避免漏解或重复计数，同时要熟练掌握正六边形的边、角特征和直角三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先利用直角三角形斜边中线的性质判断动点的轨迹：矩形的内角都是直角，当木棒EF的两个端点落在矩形相邻两边上时，可构成以EF为斜边的直角三角形，EF的中点P到对应直角顶点的距离恒为EF长度的一半，即1cm，因此矩形四个角处P的轨迹是半径为1cm的四分之一圆弧；当EF端点落在矩形对边上时，P的轨迹为平行于矩形边的线段。最后将所求轨迹围成的面积转化为矩形面积减去四个扇形拼成的整圆面积即可。
【解析】
1. 计算矩形的面积：
已知矩形ABCD中$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，则矩形面积为：
$S_{\mathrm{矩形}}=AB× BC=2×4=8\ \mathrm{cm}^2$
2. 分析中点P的轨迹对应的图形面积：
因为EF长为2cm，当EF两端在矩形相邻边上滑动时，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得中点P到相邻边公共顶点的距离恒为$\frac{EF}{2}=1\ \mathrm{cm}$。
因此矩形四个顶点处，P的轨迹都是圆心角为$90°$、半径为1cm的四分之一扇形，四个扇形可拼接为1个半径为1cm的整圆，整圆面积为：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算轨迹围成的图形面积：
轨迹围成的面积等于矩形面积减去整圆面积，即：
$S=S_{\mathrm{矩形}}-S_{\mathrm{圆}}=8-π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$8-π$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，扇形面积计算，矩形面积计算
【点评】
本题属于动态几何的面积计算问题，解题核心是找到动点的运动轨迹，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6