活动一:忆一忆 说一说
(1)我们已经学习了哪些常用的统计图表?它们各自的特点是什么?
(2)数据的整理一般包括哪些步骤?什么是分组?什么是频数?
(3)回顾学过的中位数的概念,它是如何计算的?它反映了数据的什么特征?
答案:解:
(1) 常用的统计图表及对应特点如下:
① 条形统计图:可以清晰展示每个类别数据的具体数量,便于不同类别数据的大小比较;
② 折线统计图:能够直观反映数据随对应维度变化的增减趋势;
③ 扇形统计图:可以清楚表示各部分数量占总数量的百分比,直观体现部分与整体的占比关系;
④ 频数分布直方图:能直观呈现数据在不同分组区间的分布情况,清晰展示各组数据的频数差异;
⑤ 箱线图:可以同时展示数据的最大值、最小值、中位数和两个四分位数,清晰反映数据的离散程度、集中趋势,方便多组数据的分布特征对比。
(2) 数据整理的一般步骤:先将收集到的原始数据进行校验去重,再对数据按大小排序,根据数据的取值范围进行合理分组,统计每组对应的频数,制作频数分布表,最终绘制对应的统计图表完成数据整理。
分组:根据数据的整体取值范围,将其划分为若干个互不重叠的区间,把所有数据对应归入所属区间的操作就是分组。
频数:某个数据值或者某个分组区间内包含的数据的总个数,叫做该数值或该组的频数。
(3) 中位数的概念:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列后,处于中间位置的数称为这组数据的中位数。
计算方法:先将所有数据按统一的大小顺序排序,若数据的总个数为奇数,则排序后位于正中间的数就是这组数据的中位数;若数据的总个数为偶数,则取排序后正中间两个数的平均数作为这组数据的中位数。
特征:中位数反映了一组数据的中等水平,不受极端偏大或偏小数据的影响,说明一组数据中约有一半的数值不大于它,同时约有一半的数值不小于它,刻画了数据的中间集中位置。
解析:
【分析】
这是统计模块的基础概念考查题,围绕统计核心基础知识点设置三个小问,解题时可逐问对应回顾所学内容作答:第(1)问先梳理初中阶段所学的常用统计图表,再对应每类图表的核心特点分点表述;第(2)问按数据整理的操作逻辑梳理完整步骤,再准确表述分组、频数的定义即可;第(3)问先明确中位数的概念,再分数据总个数为奇数、偶数两种情况梳理计算方法,最后说明中位数反映的数据特征即可。
【解析】
(1) 常用的统计图表及对应特点如下:
① 条形统计图:可以清晰展示每个类别数据的具体数量,便于不同类别数据的大小比较;
② 折线统计图:能够直观反映数据随对应维度变化的增减趋势;
③ 扇形统计图:可以清楚表示各部分数量占总数量的百分比,直观体现部分与整体的占比关系;
④ 频数分布直方图:能直观呈现数据在不同分组区间的分布情况,清晰展示各组数据的频数差异;
⑤ 箱线图:可以同时展示数据的最大值、最小值、中位数和两个四分位数,清晰反映数据的离散程度、集中趋势,方便多组数据的分布特征对比。
(2) 数据整理的一般步骤:先将收集到的原始数据进行校验去重,再对数据按大小排序,根据数据的取值范围进行合理分组,统计每组对应的频数,制作频数分布表,最终绘制对应的统计图表完成数据整理。
分组:根据数据的整体取值范围,将其划分为若干个互不重叠的区间,把所有数据对应归入所属区间的操作就是分组。
频数:某个数据值或者某个分组区间内包含的数据的总个数,叫做该数值或该组的频数。
(3) 中位数的概念:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列后,处于中间位置的数称为这组数据的中位数。
计算方法:先将所有数据按统一的大小顺序排序,若数据的总个数为奇数,则排序后位于正中间的数就是这组数据的中位数;若数据的总个数为偶数,则取排序后正中间两个数的平均数作为这组数据的中位数。
特征:中位数反映了一组数据的中等水平,不受极端偏大或偏小数据的影响,说明一组数据中约有一半的数值不大于它,同时约有一半的数值不小于它,刻画了数据的中间集中位置。
【答案】
(1) 常用的统计图表及对应特点如下:
① 条形统计图:可以清晰展示每个类别数据的具体数量,便于不同类别数据的大小比较;
② 折线统计图:能够直观反映数据随对应维度变化的增减趋势;
③ 扇形统计图:可以清楚表示各部分数量占总数量的百分比,直观体现部分与整体的占比关系;
④ 频数分布直方图:能直观呈现数据在不同分组区间的分布情况,清晰展示各组数据的频数差异;
⑤ 箱线图:可以同时展示数据的最大值、最小值、中位数和两个四分位数,清晰反映数据的离散程度、集中趋势,方便多组数据的分布特征对比。
(2) 数据整理的一般步骤:先将收集到的原始数据进行校验去重,再对数据按大小排序,根据数据的取值范围进行合理分组,统计每组对应的频数,制作频数分布表,最终绘制对应的统计图表完成数据整理。
分组:根据数据的整体取值范围,将其划分为若干个互不重叠的区间,把所有数据对应归入所属区间的操作就是分组。
频数:某个数据值或者某个分组区间内包含的数据的总个数,叫做该数值或该组的频数。
(3) 中位数的概念:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列后,处于中间位置的数称为这组数据的中位数。
计算方法:先将所有数据按统一的大小顺序排序,若数据的总个数为奇数,则排序后位于正中间的数就是这组数据的中位数;若数据的总个数为偶数,则取排序后正中间两个数的平均数作为这组数据的中位数。
特征:中位数反映了一组数据的中等水平,不受极端偏大或偏小数据的影响,说明一组数据中约有一半的数值不大于它,同时约有一半的数值不小于它,刻画了数据的中间集中位置。
【知识点】
1. 统计图表的特征
2. 数据整理与频数
3. 中位数的概念与计算
【点评】
本题侧重统计基础概念的考查,所涉及的知识点都是统计学习的核心基础,是后续学习复杂统计分析方法、解决实际统计问题的前提,需要学生准确识记、理解各类概念,理清不同知识点的区别与联系。
【难度系数】
0.8
活动二:画一画 议一议
请阅读课本中关于箱线图的内容,尝试总结箱线图的五个主要构成部分,并用简洁的语言描述它们的含义,并画一画.
答案:解:
箱线图的五个主要构成部分及对应含义如下:
1. 最小值:一组数据从小到大排序后的最小数值,是数据集的取值下限,代表数据的最小观测水平。
2. 第一四分位数(下四分位数,$Q_1$):将数据从小到大排序后,处于25%分位的数值,代表全部数据中有四分之一的数据小于或等于该值。
3. 中位数(第二四分位数,$Q_2$):将数据从小到大排序后,处于50%分位的数值,是一组数据的中间值,代表全部数据中有二分之一的数据小于或等于该值,反映数据的中等水平。
4. 第三四分位数(上四分位数,$Q_3$):将数据从小到大排序后,处于75%分位的数值,代表全部数据中有四分之三的数据小于或等于该值。
5. 最大值:一组数据从小到大排序后的最大数值,是数据集的取值上限,代表数据的最大观测水平。
箱线图绘制步骤:
(1) 绘制带有合适单位刻度的数轴,在数轴上依次标记出上述五个统计量对应的位置点;
(2) 以$Q_1$、$Q_3$为左右边界绘制矩形箱体,在箱体内部用竖线标出中位数对应的位置;
(3) 用线段分别将箱体左边界连接到最小值点、箱体右边界连接到最大值点,即得到完整的箱线图。
解析:
【分析】
解决本题首先要明确箱线图是描述数据分布的常用统计图表,核心是5个能够反映数据整体分布情况的特征统计量。解题时先结合已学的数据排序、分位数相关知识,逐一梳理这5个统计量的定义及含义,再根据5个统计量的位置关系推导箱线图的绘制步骤即可。
【解析】
首先梳理箱线图的五个主要构成部分及对应含义:
1. 最小值:一组数据从小到大排序后的最小数值,是数据集的取值下限,代表数据的最小观测水平。
2. 第一四分位数(下四分位数,$Q_1$):将数据从小到大排序后,处于25%分位的数值,代表全部数据中有四分之一的数据小于或等于该值。
3. 中位数(第二四分位数,$Q_2$):将数据从小到大排序后,处于50%分位的数值,是一组数据的中间值,代表全部数据中有二分之一的数据小于或等于该值,反映数据的中等水平。
4. 第三四分位数(上四分位数,$Q_3$):将数据从小到大排序后,处于75%分位的数值,代表全部数据中有四分之三的数据小于或等于该值。
5. 最大值:一组数据从小到大排序后的最大数值,是数据集的取值上限,代表数据的最大观测水平。
接下来是箱线图绘制步骤:
(1) 绘制带有合适单位刻度的数轴,在数轴上依次标记出上述五个统计量对应的位置点;
(2) 以$Q_1$、$Q_3$为左右边界绘制矩形箱体,在箱体内部用竖线标出中位数对应的位置;
(3) 用线段分别将箱体左边界连接到最小值点、箱体右边界连接到最大值点,即得到完整的箱线图。
【答案】
箱线图的五个主要构成部分及对应含义如下:
1. 最小值:一组数据从小到大排序后的最小数值,是数据集的取值下限,代表数据的最小观测水平。
2. 第一四分位数(下四分位数,$Q_1$):将数据从小到大排序后,处于25%分位的数值,代表全部数据中有四分之一的数据小于或等于该值。
3. 中位数(第二四分位数,$Q_2$):将数据从小到大排序后,处于50%分位的数值,是一组数据的中间值,代表全部数据中有二分之一的数据小于或等于该值,反映数据的中等水平。
4. 第三四分位数(上四分位数,$Q_3$):将数据从小到大排序后,处于75%分位的数值,代表全部数据中有四分之三的数据小于或等于该值。
5. 最大值:一组数据从小到大排序后的最大数值,是数据集的取值上限,代表数据的最大观测水平。
箱线图绘制步骤:
(1) 绘制带有合适单位刻度的数轴,在数轴上依次标记出上述五个统计量对应的位置点;
(2) 以$Q_1$、$Q_3$为左右边界绘制矩形箱体,在箱体内部用竖线标出中位数对应的位置;
(3) 用线段分别将箱体左边界连接到最小值点、箱体右边界连接到最大值点,即得到完整的箱线图。
【知识点】
箱线图的构成、四分位数的定义、箱线图的绘制
【点评】
本题属于统计板块的基础概念类题目,侧重考查对箱线图核心特征的理解和基础绘图能力,熟练掌握五个核心统计量的含义是解决此类问题的基础,也为后续运用箱线图分析数据离散程度、分布特征做好铺垫。
【难度系数】
0.8
活动三:做一做 想一想
在绘制过程中,你认为最关键的步骤是什么? 如何确定最小值、最大值以及四分位数的位置?
答案:解:
绘制箱线图最关键的步骤是准确计算出最小值、第一四分位数、中位数(第二四分位数)、第三四分位数、最大值这五个核心统计量。
确定各量位置的方法:
1. 先将所有原始数据按照从小到大的顺序重新排列;
2. 排序完成后,序列最左端的数就是最小值,序列最右端的数就是最大值;
3. 四分位数的位置确定:
① 设排序后数据总个数为n,先确定中位数(第二四分位数):若n为奇数,中位数对应排序后第$\frac{n+1}{2}$个数据;若n为偶数,中位数对应排序后第$\frac{n}{2}$个和第$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数。
② 第一四分位数是排序后,最小值到中位数区间内所有数据的中位数;
③ 第三四分位数是排序后,中位数到最大值区间内所有数据的中位数。
4. 建立数值轴后,按照各统计量的实际数值大小,在轴上按比例依次标注出最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值的对应位置即可。
解析:
【分析】
这道题包含两个核心问题,解题时可按以下思路思考:首先明确箱线图的构成基础,箱线图完全围绕最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这5个统计量绘制,因此最关键的步骤必然和这5个统计量的准确计算相关。其次思考各数值的定位逻辑:所有分位数、最值的确定都需要基于有序排列的数据,因此第一步要先对原始数据排序;排序后最值可直接取序列两端的数;四分位数本质是不同区间的中位数,因此先确定整个数据集的中位数,再分别找前半段、后半段数据的中位数,就能得到第一、第三四分位数,按照这个逻辑逐步推导即可得到完整答案。
【解析】
最关键步骤
绘制箱线图最关键的步骤是准确计算出最小值、第一四分位数、中位数(第二四分位数)、第三四分位数、最大值这五个核心统计量。
各量位置确定方法
1. 先将所有原始数据按照从小到大的顺序重新排列;
2. 排序完成后,序列最左端的数就是最小值,序列最右端的数就是最大值;
3. 四分位数的位置确定:
① 设排序后数据总个数为n,先确定中位数(第二四分位数):若n为奇数,中位数对应排序后第$\frac{n+1}{2}$个数据;若n为偶数,中位数对应排序后第$\frac{n}{2}$个和第$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数。
② 第一四分位数是排序后,最小值到中位数区间内所有数据的中位数;
③ 第三四分位数是排序后,中位数到最大值区间内所有数据的中位数。
4. 建立数值轴后,按照各统计量的实际数值大小,在轴上按比例依次标注出最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值的对应位置即可。
【答案】
绘制箱线图最关键的步骤是准确计算出最小值、第一四分位数、中位数(第二四分位数)、第三四分位数、最大值这五个核心统计量。
确定各量位置的方法:
1. 先将所有原始数据按照从小到大的顺序重新排列;
2. 排序完成后,序列最左端的数就是最小值,序列最右端的数就是最大值;
3. 四分位数的位置确定:
① 设排序后数据总个数为n,先确定中位数(第二四分位数):若n为奇数,中位数对应排序后第$\frac{n+1}{2}$个数据;若n为偶数,中位数对应排序后第$\frac{n}{2}$个和第$\frac{n}{2}+1$个数据的平均数。
② 第一四分位数是排序后,最小值到中位数区间内所有数据的中位数;
③ 第三四分位数是排序后,中位数到最大值区间内所有数据的中位数。
4. 建立数值轴后,按照各统计量的实际数值大小,在轴上按比例依次标注出最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值的对应位置即可。
【知识点】
箱线图绘制、四分位数计算、数据排序
【点评】
本题属于统计模块的基础概念类题目,主要考查箱线图绘制的核心要求和四分位数的定位逻辑,掌握五个核心统计量的计算方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 将某组数据绘制成箱线图如图所示,则该组数据的第三四分位数为 (
C
)

A.140
B.150
C.163
D.180
答案:1. C
解析:
【分析】
要解决这道题,首先要明确竖直箱线图各位置对应的统计量:箱线图的5个关键数值从下到上依次为最小值、第一四分位数(下四分位数)、中位数、第三四分位数(上四分位数)、最大值,其中第三四分位数对应箱体的上边缘数值,只要从图中找到箱体上边缘的数值即可得到答案。
【解析】
根据箱线图的定义,竖直放置的箱线图中,从下到上的标记分别对应:
1. 最下方的120是该组数据的最小值;
2. 箱体下沿的140是第一四分位数;
3. 箱体中间横线的150是该组数据的中位数;
4. 箱体上沿的163是第三四分位数;
5. 最上方的180是该组数据的最大值。
因此该组数据的第三四分位数为163,对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
箱线图的识别,四分位数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题,只要熟练掌握箱线图各部分对应的统计量就能快速求解,是对基础知识点掌握程度的检验。
【难度系数】
0.8