典例精析
按下面的步骤计算,再把最后的得数与开始的数比较,你能发现什么?你知道为什么吗?
[解析]第一步:从左到右依次计算。
$\frac{7}{15}÷\frac{2}{3}=\frac{7}{10},\frac{7}{10}÷\frac{3}{4}=\frac{14}{15},\frac{14}{15}×\frac{1}{2}=\frac{7}{15}$。
第二步:探究规律。
发现:最后的得数与开始的数相同。
第三步:探究原因。
根据除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数可知,$\frac{7}{15}÷\frac{2}{3}÷\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{7}{15}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{1}{2}=\frac{7}{15}×(\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{1}{2})=\frac{7}{15}×1=\frac{7}{15}$,即通过将算式进行变形发现,开始的数经过一些变化后,相当于这个数乘1,因此最后的得数与开始的数是相同的。
[答案]$\frac{7}{10}$ $\frac{14}{15}$ $\frac{7}{15}$
发现:最后的得数与开始的数相同。
因为一个数“$÷\frac{2}{3}÷\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$”相当于这个数“$×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{1}{2}$”,即相当于“×1”,所以最后的得数与开始的数相同。(合理即可)
点评:计算分数乘除混合运算时,可以先把除以一个数改写成乘它的倒数的形式,也就是将原来的算式写成分数连乘的形式,再进行简便计算。
答案：$\frac{7}{15} ÷ \frac{2}{3} = \frac{7}{10}$
$\frac{7}{10} ÷ \frac{3}{4} = \frac{14}{15}$
$\frac{14}{15} × \frac{1}{2} = \frac{7}{15}$
发现：最后的得数与开始的数相同。
$\frac{7}{15} ÷ \frac{2}{3} ÷ \frac{3}{4} × \frac{1}{2}$
$= \frac{7}{15} × \frac{3}{2} × \frac{4}{3} × \frac{1}{2}$
$= \frac{7}{15} × 1$
$= \frac{7}{15}$
一个数依次进行除以$\frac{2}{3}$、除以$\frac{3}{4}$、乘$\frac{1}{2}$的运算，相当于这个数乘1，所以最后的得数和开始的数相等。
答：三个圆圈内的数依次为$\frac{7}{10}$、$\frac{14}{15}$、$\frac{7}{15}$，最后的得数与开始的数相同，该系列运算等价于原数乘1，结果等于原数。
1. 先按步骤计算，再把最后的得数与开始的数比较，你能发现什么？你知道为什么吗？
$\frac{17}{19} ÷ \frac{5}{6} \rightarrow □ × \frac{5}{21} \rightarrow $
$ ÷ \frac{2}{9} \rightarrow □ × \frac{7}{9} \rightarrow □$
答案： 得数依次为$\frac{102}{95}$、$\frac{34}{133}$、$\frac{153}{133}$、$\frac{17}{19}$ 发现:最后的得数与开始的数相同 因为一个数“$÷\frac{5}{6}×\frac{5}{21}÷\frac{2}{9}×\frac{7}{9}$”相当于这个数“$×\frac{6}{5}×\frac{5}{21}×\frac{9}{2}×\frac{7}{9}$”,即相当于“×1”,所以最后的得数与开始的数相同(合理即可)
2. 一个数先除以$\frac{5}{3}$，得到的结果再除以$\frac{9}{20}$，得到的结果再乘$\frac{3}{4}$，最后得到的结果是$\frac{11}{49}$。这个数是多少？
答案： $\frac{11}{49}÷\frac{3}{4}×\frac{9}{20}×\frac{5}{3}=\frac{11}{49}×(\frac{4}{3}×\frac{9}{20}×\frac{5}{3})=\frac{11}{49}×1=\frac{11}{49}$ 答:这个数是$\frac{11}{49}$。
3. 用简便方法计算下面各题。
$\frac{3}{13} ÷ 24 + \frac{1}{24} × \frac{9}{13}$
$2.6 ÷ \frac{10}{9} + 6.4 × \frac{9}{10} + 0.9$
$\frac{4}{5} ÷ 1\frac{1}{3} + 23 × 0.075 + 3.3 × \frac{3}{4}$
答案：3. $\frac{1}{26}$ 9 4.8 解析:第三道算式把原式中的“$÷1\frac{1}{3}$”改写为“$×\frac{3}{4}$”,“$23×0.075$”改写为“$2.3×0.75$”,即原式变为$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}+2.3×0.75+3.3×\frac{3}{4}$,再把$\frac{4}{5}$转化成小数0.8,0.75转化成分数$\frac{3}{4}$,即可运用乘法分配律进行简便计算。
