【分析】
(1) 首先∠BAM与∠BAN是邻补角，两角和为180°，结合已知∠BAM=2∠BAN，代入即可求出∠BAN的度数；
(2) 灯A从AM旋转到AN的总角度为180°，已知转动速度，根据“时间=总角度÷转动速度”即可计算所需时间；
(3) ① 灯B先转动30s，之后和灯A同时转动t s，总转动时长为$(30+t)$s，结合转动速度可直接写出∠PBD的度数；灯A转动t s，根据速度可直接写出∠MAC的度数；
② 要使$AC// BD$，结合$QP// MN$的条件，利用平行线的性质可推出$∠MAC=∠PBD$，列方程求解即可得到t的值；
(4) 当AC转过AN之后、BD到达BQ之前，需重新表示两束光对应的角度，结合平行线的性质找到角度等量关系，列方程求解后验证解是否符合取值范围即可。
【解析】
(1)
∵$∠ BAM+∠ BAN=180°$，且$∠ BAM=2∠ BAN$
∴$2∠ BAN+∠ BAN=180°$，即$3∠ BAN=180°$，解得$∠ BAN=60°$
(2) 灯A从AM转到AN的旋转角度为$180°$，转动速度为$2°/\mathrm{s}$
∴所需时间为$180÷2=90(\mathrm{s})$
(3) ① 灯B总转动时长为$(t+30)\mathrm{s}$，转动速度为$1°/\mathrm{s}$，故$∠ PBD=(t+30)°$；
灯A转动时长为$t\mathrm{ s}$，转动速度为$2°/\mathrm{s}$，故$∠ MAC=2t°$；
② 当$0＜t＜90$时，
∵$QP// MN$，
∴$∠ PBD=∠ BDA$（两直线平行，内错角相等）
又
∵$AC// BD$，
∴$∠ CAM=∠ BDA$（两直线平行，同位角相等）
∴$∠ CAM=∠ PBD$，即$2t=30+t$，解得$t=30$
(4) 存在，此时BD到达BQ前总转动时长小于180s，即$30+t＜180$，得$t＜150$，结合AC已转过AN得$t＞90$，即t的范围为$90＜t＜150$
∵$QP// MN$，
∴$∠ PBD+∠ BDA=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵$AC// BD$，
∴$∠ CAN=∠ BDA$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ PBD+∠ CAN=180°$
此时$∠ CAN=2t-180$，$∠ PBD=30+t$，代入得：
$30+t+(2t-180)=180$，解得$t=110$，符合$90＜t＜150$的范围。
【答案】
(1) 60
(2) 90
(3) ① $(t+30),2t$
② 30 s
(4) 存在，转动时间为110 s
【知识点】
平行线的性质，邻补角性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了角度计算、平行线的性质以及方程思想的应用，解题时需注意分情况讨论光束转动的不同阶段，梳理清楚不同阶段对应的角度关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
