14. 如图，AE与BD相交于点F，∠B=∠C，∠1=∠2.（1）AB与CE平行吗？请说明理由.（2）若∠1=76°，∠E=57°，求∠B的大小.
（第14题）
答案：14.(1) 平行. 理由:因为$∠ 1=∠ 2$,所以$AC// CD$,所以$∠ C=∠ BDE$. 又因为$∠ B=∠ C$,所以$∠ B=∠ BDE$,所以$AB// CE$ (2) 在$△ AEC$中,$∠ 1=76°$,$∠ E=57°$,所以$∠ C=180°-76°-57°=47°$.又因为$∠ B=∠ C$,所以$∠ B=47°$
解析：
【分析】
（1）要判断AB与CE是否平行，需先找到能证明两直线平行的角的等量关系。首先从已知条件∠1=∠2入手，可先推出AC和BD平行，再利用平行线的性质得到角的等量关系，结合已知∠B=∠C做等量代换，最终得到能判定AB与CE平行的角的关系即可。
（2）要求∠B的度数，已知∠B=∠C，因此只需先求出∠C的度数。在△AEC中，利用三角形内角和为180°，代入已知的∠1和∠E的度数就能求出∠C，进而得到∠B的大小。
【解析】
(1) AB与CE平行，理由如下：
∵ ∠1=∠2，
∴ AC//BD（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠C=∠BDE（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠B=∠C，
∴ ∠B=∠BDE（等量代换），
∴ AB//CE（内错角相等，两直线平行）。
(2) 在△AEC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ C=180{}^{\circ }-∠ 1-∠ E$
将$∠ 1=76{}^{\circ }$，$∠ E=57{}^{\circ }$代入计算：
$∠ C=180{}^{\circ }-76{}^{\circ }-57{}^{\circ }=47{}^{\circ }$
又
∵ ∠B=∠C，
∴ $∠ B=47{}^{\circ }$
【答案】
(1) 平行，理由见解析；(2) $∠ B=47{}^{\circ }$
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础类题型，重点考查平行线的判定、性质的综合应用，以及三角形内角和定理的计算，解题的核心是熟练运用角的等量代换梳理角之间的关系，是平面几何入门阶段的典型常考题。
【难度系数】
0.7
15. 已知：如图①，AB//CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP. 易说明∠APC=∠BAP+∠PCD.
下面是两位同学添加辅助线的方法：
请你选择一位同学的方法进行说明.
答案：15. 以选择小明的方法为例,证明如下:因为$AB// PQ$,所以$∠ APQ=∠ BAP$,又因为$∠ BAP=∠ PMC$,所以$∠ APQ=∠ PMC$,所以$PQ// CD$,所以$∠ CPQ=∠ PCD$,所以$∠ APQ+∠ CPQ=∠ BAP+∠ PCD$,即$∠ APC=∠ BAP+∠ PCD$
解析：
【分析】
要证明∠APC=∠BAP+∠PCD，核心思路是将∠APC拆分为两个角，分别证明这两个角与∠BAP、∠PCD相等。结合已知AB//CD的条件，我们可以利用平行线的判定与性质建立角的等量关系：先通过辅助线构造平行线得到第一组相等的内错角，再通过角的等量代换证明新的平行关系，得到第二组相等的内错角，最后将两个等式相加即可推出结论。
【解析】
选择小明的方法证明：
过点P作PQ//AB，延长AP交CD于点M。
∵AB//PQ，
∴∠APQ=∠BAP（两直线平行，内错角相等）。
∵AB//CD，
∴∠BAP=∠PMC（两直线平行，同位角相等）。
∴∠APQ=∠PMC（等量代换），
∴PQ//CD（同位角相等，两直线平行）。
∴∠CPQ=∠PCD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠APQ+∠CPQ=∠BAP+∠PCD（等式的性质），
即∠APC=∠BAP+∠PCD。
【答案】
以选择小明的方法为例，证明如下：因为$AB// PQ$，所以$∠ APQ=∠ BAP$，又因为$AB// CD$，所以$∠ BAP=∠ PMC$，所以$∠ APQ=∠ PMC$，所以$PQ// CD$，所以$∠ CPQ=∠ PCD$，所以$∠ APQ+∠ CPQ=∠ BAP+∠ PCD$，即$∠ APC=∠ BAP+∠ PCD$。
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；角的等量代换
【点评】
本题是平行线间拐角模型的基础证明题，解题关键是合理添加辅助线构造平行线或截线，将待证的三个角建立等量联系，熟练掌握该类模型的辅助线构造方法，可快速解决同类拐角角度的计算与证明问题。
【难度系数】
0.7
