22. 工程师为某建筑制定装修方案，其中有一扇窗户的形状如图所示，上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长是$a$ m，图中窗框均为塑钢材质，已知整个窗户的外框部分为A型塑钢材质，里面的窗框为B型塑钢材质，其余部分都是透光玻璃($π$取3).
(1) 用含$a$的代数式表示这个窗户的透光面积(窗框部分忽略不计).
(2) 如果$a=0.5$，A型塑钢材质价格为250元/m，B型塑钢材质价格为180元/m，玻璃价格为40元/$\mathrm{m}^2$，现有甲、乙两个公司作为选择，其中，甲公司的收费方式为每满500元可以减60元；乙公司的收费方式为如果总价超过1 000元，那么总价打9折. 如何选择可以使总花费最少？
答案：22. (1) 窗户的面积=$4a^2+\frac{1}{2}π a^2=(4+\frac{1}{2}π)a^2=5.5 a^2(\mathrm{m}^2)$
(2) 图形外部周长为$\frac{1}{2}×2π a+6a=9a=4.5(\mathrm{m})$,内部材料长为$9a=4.5(\mathrm{m})$,A型塑钢材质为250元/$\mathrm{m}^2$,B型塑钢材质180元/$\mathrm{m}^2$,玻璃价格为40元/$\mathrm{m}^2$,所以总价为$250×4.5+4.5×180+5.5×0.5^2×40=1990$(元),选择甲公司需付:$1990-3×60=1810$(元),选择乙公司需付:$1990×0.9=1791$(元),所以选择乙公司便宜
解析：
【分析】
(1) 求透光面积只需将窗户拆分为下部4个小正方形和上部半圆形两部分，分别计算面积后求和即可。首先根据小正方形边长为a求出正方形总面积，再明确半圆直径等于下部两个小正方形的边长和，即半径为a，代入半圆面积公式计算，最后结合π=3化简代数式。
(2) 先分别计算A型外框塑钢、B型内部塑钢的总长度，结合第一问的透光面积，分别计算三种材料的总费用得到总价。再分别按照甲、乙两公司的优惠规则计算优惠后的花费，比较两个花费的大小，选择花费更少的方案即可。
【解析】
(1) 下部4个小正方形的总面积：每个小正方形面积为$a^2$，4个的总面积是$4a^2$；
上部半圆的半径$r=a$，半圆面积为$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π a^2$；
将$π=3$代入，透光总面积为：
$4a^2+\frac{1}{2}×3× a^2=5.5a^2 \ (\mathrm{m}^2)$
(2) 第一步：计算各材料用量
① A型塑钢（外框）长度：半圆弧长为$\frac{1}{2}×2π a=π a$，下部外框边总长为$6a$，代入$π=3$得总长为$9a$；当$a=0.5$时，长度为$9×0.5=4.5 \ \mathrm{m}$。
② B型塑钢（内部窗框）长度：由图可得内部窗框总长为$9a$，当$a=0.5$时，长度为$4.5 \ \mathrm{m}$。
③ 玻璃面积：当$a=0.5$时，代入(1)的结果得$5.5×(0.5)^2=1.375 \ \mathrm{m}^2$。
第二步：计算总原价
$250×4.5 + 180×4.5 + 40×1.375=1125+810+55=1990$（元）
第三步：分别计算两公司优惠后价格
① 甲公司：1990元包含3个满500元的优惠档位，可减$3×60=180$元，需付费$1990-180=1810$元。
② 乙公司：1990＞1000，打9折后需付费$1990×0.9=1791$元。
因为$1791＜1810$，所以选择乙公司花费更少。
【答案】
(1) 透光面积为$\boldsymbol{5.5a^2 \ \mathrm{m}^2}$；
(2) 选择乙公司总花费最少。
【知识点】
面积计算，周长计算，方案优化
【点评】
本题结合生活装修场景，考查了代数式的列写与求值，以及实际问题中的优惠方案比较，解题时要注意区分内外窗框的长度，避免漏算或者多算边的长度，计算优惠时要准确理解满减、打折的规则。
【难度系数】
0.7
