7. 求多项式$3x^2+4x-2x^2+x+x^2-3x-1$的值，其中$x=-2.$
答案：7. 多项式:$2x^2+2x-1$;值:3
解析：
【分析】
求解此类整式求值问题，为了简化计算、避免出错，优先采用“先化简，再求值”的思路：第一步先识别多项式中的同类项，即所含字母相同、且相同字母的指数也相同的项；第二步将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，完成多项式的化简；最后将x的取值代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
首先对多项式合并同类项化简：
$\begin{aligned}&3x^2+4x-2x^2+x+x^2-3x-1\\=&(3x^2-2x^2+x^2)+(4x+x-3x)-1\\=&2x^2+2x-1\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=2×(-2)^2 + 2×(-2) -1\\&=2×4 -4 -1\\&=8-4-1\\&=3\end{aligned}$
【答案】
化简后的多项式为$2x^2+2x-1$，多项式的值为3
【知识点】
合并同类项；整式的化简求值
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查合并同类项的运算规则，先化简再代入求值的方法可以大幅减少计算量，降低运算错误的概率，需熟练掌握同类项的识别与合并方法。
【难度系数】
0.8
8. 我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$，类似地，我们把$(a + b)$看成一个整体，则$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
（1）把$(a - b)^2$看成一个整体，化简：$3(a - b)^2 - 6(a - b)^2 + 2(a - b)^2$；
（2）已知$a = -3$，$b = -1$，求（1）中整式的值；
（3）先化简，再求值：$\frac{2}{3}(2x^2 - x + 3) + \frac{7}{3}(2x^2 - x + 3) - 2(2x^2 - x + 3)$，其中$x = -\frac{1}{2}$。
答案：8. (1) $-(a-b)^2$ (2) $-4$ (3) 4
解析：
【分析】
本题运用整体思想解题：（1）将$(a-b)^2$看作一个整体，按照合并同类项的规则，仅对整体的系数进行加减运算，整体部分保持不变；（2）先计算$a-b$的值，再代入（1）的化简结果计算即可；（3）将$(2x^2 - x + 3)$看作一个整体，先合并同类项化简整式，再代入$x$的值计算结果，用整体思想可简化运算步骤。
【解析】
（1）将$(a-b)^2$视为整体，合并同类项：
$3(a - b)^2 - 6(a - b)^2 + 2(a - b)^2 = (3 - 6 + 2)(a - b)^2 = -(a - b)^2$
（2）当$a=-3$，$b=-1$时，先计算$a-b$：
$a - b = -3 - (-1) = -2$
代入（1）的结果得：
$-(a - b)^2 = -(-2)^2 = -4$
（3）将$(2x^2 - x + 3)$视为整体，合并同类项：
$\frac{2}{3}(2x^2 - x + 3) + \frac{7}{3}(2x^2 - x + 3) - 2(2x^2 - x + 3)$
$= (\frac{2}{3} + \frac{7}{3} - 2)(2x^2 - x + 3)$
$= (3 - 2)(2x^2 - x + 3)$
$= 2x^2 - x + 3$
当$x=-\frac{1}{2}$时，代入得：
原式$=2× (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 3 = 2× \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 3 = 4$
【答案】
(1) $-(a-b)^2$；(2) $-4$；(3) $4$
【知识点】
合并同类项，整体思想，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整体思想在整式加减运算中的应用，熟练掌握合并同类项法则是解题的核心，运用整体思想可有效简化运算过程，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
9.（1）小明很快地计算出下式的答案是$1\frac{5}{6}$.你知道他是怎么想的吗？
$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×2+(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5})$.
（2）① 请你仿照（1）中式子，将下式补充成一个类似的式子：
$(1-\_\_\_\_\_\_)+(\_\_\_\_\_\_)×2+(1-\_\_\_\_\_\_)$；
② 请直接写出上式的答案.
答案：9. (1) 答案不唯一,如$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×2+(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$ (2) 例如,把$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$看成一个整体,记为$a$,原式即$(\frac{4}{5}-a)+a×2+(1-a)=\frac{4}{5}-a+2a+1-a=1\frac{4}{5}$
解析：
【分析】
（1）观察原式可发现$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$是重复出现的部分，我们可以将这部分看作一个整体，代入原式后去括号，含有整体的项会相互抵消，仅需计算剩余的常数项即可快速得到结果，无需逐个通分计算分数，大幅简化运算。
（2）仿照（1）的结构，只需选定一组连续的单位分数作为公共重复部分，按照“第一个括号为1减去（公共部分+1个额外单位分数）、第二个括号为公共部分乘2、第三个括号为1减去公共部分”的规则补充即可，计算时同样用整体代换抵消公共项，快速求出结果。
【解析】
（1）设$a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，将其代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1 - a - \frac{1}{6}) + 2a + (1 - a)\\&=1 - a - \frac{1}{6} + 2a + 1 - a\\&=(-a + 2a - a) + (1 + 1 - \frac{1}{6})\\&=0 + 2 - \frac{1}{6}\\&=1\frac{5}{6}\end{aligned}$
这就是小明的计算思路。
（2）① 补充示例（答案不唯一）：
$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×2+(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$
② 设$b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，代入补充后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(1 - b - \frac{1}{5}) + 2b + (1 - b)\\&=1 - b - \frac{1}{5} + 2b + 1 - b\\&=(-b + 2b - b) + (1 + 1 - \frac{1}{5})\\&=0 + 2 - \frac{1}{5}\\&=1\frac{4}{5}\end{aligned}$
【答案】
（1）将$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$看作整体代换，抵消同类项后计算得$1\frac{5}{6}$，思路见解析；
（2）① 示例：$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$（答案不唯一）；
② 对应示例答案为$1\frac{4}{5}$。
【知识点】
整式的加减，整体代换，分数简便运算
【点评】
本题重点考查整体思想在运算中的应用，通过将重复出现的部分设为整体，可避免复杂的通分计算，大幅简化运算过程，能够有效锻炼简便运算的思维能力。
【难度系数】
0.7
