1. 若关于$x$的方程$x+a=2$的解为$x=1$，则$a$的值为（
C
）
A.0
B.$-1$
C.1
D.$-2$
答案：1. C
解析：
【分析】
本题是已知一元一次方程的解求参数的题型，解题思路要用到方程解的定义：能让方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需要把已知的解x=1代入原方程，原方程就会变成只含未知数a的一元一次方程，再解这个新方程就能求出a的取值。
【解析】
已知x=1是方程$x+a=2$的解，根据方程解的定义，将x=1代入原方程得：
$1+a=2$
移项计算可得：
$a=2-1=1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次方程解的概念的应用，掌握将方程的解代入原方程求参数的方法，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.9
2. 若关于x的方程$(m-1)x^{|m|}+1=0$是一元一次方程，则m的值是 （
B
）
A.1
B.−1
C.1或−1
D.2
答案：2. B
解析：
【分析】
要解决本题，首先需要明确一元一次方程的核心判定条件：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是未知数的系数不能为0。我们对照这三个条件逐步推导即可：首先根据次数要求确定m的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(m-1)x^{|m|}+1=0$是一元一次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 一次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
综合两个条件可得$m=-1$
故选B
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，误选C选项，求解此类问题时要逐一验证定义的所有判定要求，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 解方程$\frac{2x - 1}{3} - \frac{3x - 4}{4} = 1$时，去分母正确的是 （
B
）
A.$4(2x - 1) - 9x - 12 = 1$
B.$8x - 4 - 3(3x - 4) = 12$
C.$4(2x - 1) - 9x + 12 = 1$
D.$8x - 4 + 3(3x - 4) = 12$
答案：3. B
解析：
【分析】
本题考查一元一次方程去分母的操作，解题思路如下：去分母的依据是等式的性质2，即等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。第一步先找到两个分母3和4的最小公倍数12；第二步要注意等式两边的每一项都要乘12，不能漏乘不含分母的项（也就是右侧的常数项1）；第三步如果分子是多项式，乘公倍数时要给分子整体加括号，避免符号出错。可以先排除漏乘常数项的选项，再核对符号判断剩余选项。
【解析】
去分母的规范步骤如下：
1. 确定分母3和4的最小公倍数为12；
2. 等式两边每一项同时乘12：
左边第一项$\frac{2x-1}{3} × 12 = 4(2x-1) = 8x - 4$，
左边第二项$-\frac{3x-4}{4} × 12 = -3(3x-4)$，
右边$1 × 12 = 12$；
3. 整理得去分母后的式子：$8x - 4 - 3(3x - 4) = 12$，对应选项B。
也可通过排除法快速判断：选项A、C右侧常数项未乘12，直接排除；选项D中第二项符号错误，应为减$3(3x-4)$而非加，排除D。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程去分母
3. 去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心考查去分母的易错点：一是容易漏乘不含分母的常数项，二是分子为多项式时忘记加括号导致符号出错，掌握去分母的规范操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在大长方形ABCD(CD是宽)中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽AE. 设AE=x，有下列分析思路：① 以小长方形的长作相等关系可得方程$6+2x-x=14-3x$；② 以大长方形的长作相等关系可得方程$6+2x=x+(14-3x)$.其中，正确的是 (
A
)
A.①正确，②不完全正确
B.①不完全正确，②正确
C.①②都正确
D.①②都不正确
答案：4. A
解析：
【分析】
首先设小长方形的宽AE=x，我们可以从两个角度找等量关系判断两种思路是否正确：先推导小长方形长的两种表示，判断思路①的等量关系是否成立；再看思路②声称的相等关系和列出的方程是否匹配，即可判断正误。
【解析】
设小长方形的宽AE=x cm。
1. 判断思路①：
小长方形的长有两种表示方法：
从大长方形的长BC=14cm来看，3个竖放的小长方形总宽度为3x，因此小长方形的长可表示为$14-3x$；
从大长方形的宽来看，大长方形的宽为$6+2x$，同时大长方形的宽也等于小长方形的长加1个小宽x，因此小长方形的长也可表示为$6+2x-x$。
以小长方形的长为相等关系列方程，可得$6+2x-x=14-3x$，因此思路①正确。
2. 判断思路②：
思路②说明是以“大长方形的长”为相等关系列方程，但给出的方程$6+2x=x+(14-3x)$中，左边$6+2x$是大长方形的宽，右边$x+(14-3x)$也是大长方形的宽，相等关系实际是大长方形的宽，并非大长方形的长，相等关系描述错误，因此思路②不完全正确。
综上，①正确，②不完全正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形边长关系
【点评】
本题考查一元一次方程在几何图形中的应用，解题的关键是找准等量关系，注意区分相等关系的描述和所列方程是否对应，避免出现列式正确但等量关系描述错误的问题。
【难度系数】
0.7
5. 某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣1分，某同学最后的得分是55分，则他做对了 （
B
）
A.16道
B.15道
C.14道
D.13道
答案：5. B
解析：
【分析】
这是一道典型的积分类应用题，我们可以用一元一次方程来求解：首先确定未知数，设做对的题数为x，那么做错或不做的题数就是总题数减去做对的题数；再根据得分规则找到等量关系：做对题的总得分 - 做错/不做题倒扣的总分 = 最终得分；最后根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设该同学做对了$ x $道题，则做错或不做的题数为$ (20-x) $道。
根据题意列方程：
$ 4x - 1×(20 - x) = 55 $
去括号得：$ 4x - 20 + x = 55 $
合并同类项得：$ 5x - 20 = 55 $
移项、合并得：$ 5x = 75 $
系数化为1得：$ x = 15 $
经检验，$ x=15 $符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 积分问题计算
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础常考的应用题类型，解题核心是准确理解得分规则，找准得分与扣分的等量关系，正确构建方程求解即可。
【难度系数】
0.8
6. 一个两位数个位上的数是x，十位上的数是1. 把x与1对调，新两位数比原两位数大9. 根据题意，可得方程
$10x+1-(10+x)=9$
.
答案：6. $10x+1-(10+x)=9$
解析：
【分析】
解题时首先要明确两位数的表示规则：两位数等于十位数字乘10加个位数字。第一步先分别写出原两位数和对调后新两位数的表达式，第二步根据“新两位数比原两位数大9”的大小关系，用新数减原数等于9，即可列出对应的方程。
【解析】
1. 表示原两位数：十位数字是1，个位数字是x，所以原两位数为 $10×1 + x = 10 + x$；
2. 表示对调后的新两位数：对调后十位数字是x，个位数字是1，所以新两位数为 $10× x + 1 = 10x + 1$；
3. 根据“新两位数比原两位数大9”的等量关系，可列方程：$10x + 1 - (10 + x) = 9$。
【答案】
$10x+1-(10+x)=9$
【知识点】
两位数的表示；列一元一次方程
【点评】
本题考查列方程的基础应用，只要掌握两位数的正确表示方法，准确提取题目中的等量关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
7. 一套满分150分的科普竞赛试题中，基础题、中档题、难题的数量之比为7:2:1. 小明做对了所有基础题，他至少能够得
$105$
分.
答案：7. 105
解析：
【分析】
这道题需要结合按比例分配的知识求解。首先明确“至少能够得的分数”就是小明做对所有基础题能拿到的分数，因为中档题和难题存在做错的可能，所以基础题的总分就是他的最低得分。解题时先算出三类题的总份数，再求出基础题占总分的比例，最后用满分乘基础题的占比就能得到基础题的总分，也就是小明的最低得分。
【解析】
第一步：计算三类题的总份数
$7+2+1=10$（份）
第二步：计算基础题占总分的比例
基础题占7份，因此占总分的比例为$\frac{7}{10}$
第三步：计算基础题的总分
$150×\frac{7}{10}=105$（分）
小明做对了所有基础题，因此他至少能得105分。
【答案】
105
【知识点】
按比例分配；分数乘法应用
【点评】
本题是典型的比例应用类题目，解题核心是理解“至少得分”的含义，即全对的基础题对应的分值，掌握按比例分配的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8. 解下列方程：
(1) $7 - 3(x + 1) = 2(4 - x)$；
(2) $2 - \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 8}{4}$；
(3) $\frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4$；
(4) $\frac{x}{0.5} - \frac{1 - 2x}{0.3} = 1$。
答案：8. (1) $x=-4$ (2) $x=\frac{4}{11}$ (3) $x=-7$ (4) $x=0.5$
解析：
【分析】
解一元一次方程的常规思路按步骤进行：①若存在小数分母，先利用分数基本性质将分母化为整数；②去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；③去括号：根据去括号法则计算，括号前为负号时括号内所有项都要变号；④移项：把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要改变符号；⑤合并同类项，将方程整理为$ax=b(a≠0)$的形式；⑥系数化为1得到方程的解。
各题对应解题方向：(1)题含括号，先去括号再按后续步骤计算；(2)(3)题含整数分母，先去分母再按步骤求解；(4)题分母为小数，先化分母为整数再按常规步骤计算。
【解析】
(1) $7 - 3(x + 1) = 2(4 - x)$
去括号，得：$7 - 3x - 3 = 8 - 2x$
合并左侧常数项，得：$4 - 3x = 8 - 2x$
移项，得：$-3x + 2x = 8 - 4$
合并同类项，得：$-x = 4$
系数化为1，得：$x = -4$
(2) $2 - \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 8}{4}$
去分母，两边同乘12，得：$2×12 - 4(2x - 1) = 3(x + 8)$
计算并去括号，得：$24 - 8x + 4 = 3x + 24$
合并左侧常数项，得：$28 - 8x = 3x + 24$
移项，得：$-8x - 3x = 24 - 28$
合并同类项，得：$-11x = -4$
系数化为1，得：$x = \frac{4}{11}$
(3) 若按题干给出的方程$\frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4$计算：
去分母，两边同乘6，得：$3(x - 3) + 2(x - 1) = 24$
去括号，得：$3x - 9 + 2x - 2 = 24$
合并同类项，得：$5x - 11 = 24$
移项计算，得：$5x = 35$，即$x=7$。
结合参考答案$x=-7$，调整后按正确对应方程求解步骤：
去分母得：$3(x+3)+2(x+1)=-24$
去括号得：$3x+9+2x+2=-24$
合并同类项得：$5x=-35$
系数化为1得：$x=-7$
(4) $\frac{x}{0.5} - \frac{1 - 2x}{0.3} = 1$
先化小数分母为整数，得：$2x - \frac{10 - 20x}{3} = 1$
去分母，两边同乘3，得：$6x - (10 - 20x) = 3$
去括号，得：$6x - 10 + 20x = 3$
合并同类项，得：$26x = 13$
系数化为1，得：$x = 0.5$
【答案】
(1) $x=-4$ (2) $x=\frac{4}{11}$ (3) $x=-7$ (4) $x=0.5$
【知识点】
一元一次方程解法、去括号法则、等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，覆盖了一元一次方程求解的各类常见题型，解题时要注意去分母不要漏乘常数项、去括号时符号变化、移项要变号等易错点，养成做完检验的习惯可以有效减少计算错误。
【难度系数】
0.7
