7. 如图，A，B两个村庄在一条河（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A，B两个村庄的距离之和最小，在图中画出点C的位置.
答案：7. 如图
解析：
【分析】
要在直线l上找到一点C，使得C到A、B的距离之和最小，可利用“两点之间线段最短”的性质思考：A、B是两个固定点，两点之间的所有连线中线段最短，因此只要让点C落在线段AB上，就能保证CA+CB的和等于线段AB的长度，为最小值。又因为点C需要在直线l上，因此线段AB和直线l的交点就是所求的点C。
【解析】
1. 用直尺连接点A和点B，得到线段AB；
2. 标记线段AB与直线l的交点为C，该点即为所求的码头位置。
原理：若在直线l上取除C外的任意一点C'，根据两点之间线段最短可得AC'+BC' ＞ AB = AC+CB，因此点C到A、B的距离之和最小。
【答案】
连接AB，线段AB与直线l的交点即为点C，位置如图所示。
【知识点】
两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是最短路径问题的基础应用，核心考查对“两点之间线段最短”性质的理解与实际运用，解题思路清晰直接，掌握基础性质即可快速解决。
【难度系数】
0.8
8. 如图，已知A，B，C，D四点，请用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹）
（1）作直线AB；
（2）作射线AC；
（3）在线段BD上取点E，使$EA+EC$的值最小。
答案：8. 如图
解析：
【分析】
首先明确各作图要求的对应思路：①直线无端点，可向两端无限延伸，过A、B两点作直线只需连接两点后向两侧延长即可；②射线仅有1个端点，可向一端无限延伸，因此以A为端点，过C点向C侧延伸就能得到射线AC；③要使$EA+EC$的值最小，根据两点之间线段最短的性质，当E点在线段AC上时，$EA+EC$的和等于AC的长度，是最小值，又因为E要在BD上，因此线段AC与BD的交点就是所求的E点。
【解析】
（1）将直尺对齐A、B两点，沿直尺过A、B画直线，向两端无限延伸，即可得到直线AB；
（2）将直尺对齐A、C两点，以A为端点，沿直尺向C的方向画射线（仅C侧延伸，A侧不延伸），即可得到射线AC；
（3）用直尺连接A、C两点得到线段AC，线段AC与线段BD的交点即为所求点E，此时$EA+EC$的值最小。
作图过程保留所有作图痕迹即可。
【答案】
如图所示（按上述步骤完成的作图即为正确结果）
【知识点】
直线与射线的画法；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题考查基础几何作图能力和线段性质的应用，属于基础题，熟练掌握直线、射线、线段的特征以及两点之间线段最短的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 阅读下表并解答问题：
线段AB上点的个数n（包括A，B两点） | 图例 | 线段总条数N
3 | A C B | $3=2+1$
4 |
| $6=3+2+1$
5 | A C D E B | $10=4+3+2+1$
6 | A C D E F B | $15=5+4+3+2+1$
7 | |
（1）在上表的空格画出图形，写出结果.
（2）猜想线段总条数N与线段上点的个数n（包括线段的两个端点）的关系：
$N=\frac{n(n-1)}{2}$
.
（3）当$n=10$时，$N=$
45
.
（4）① 七年级(1)班有45名同学参加聚会，若每两人握一次手问好，则共握了
990
次手；
② 计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠6个站点，需要制定$m$种票价（两地之间往返票价相同），设计$n$种车票，则$m$和$n$的值分别为（
D
）
A. 7，14
B. 8，16
C. 15，30
D. 28，56
答案：9. (1) 如图 $21=6+5+4+3+2+1$ (2) $N=\frac{n(n-1)}{2}$ (3) 45 (4) ① 990 ② D
解析：
【分析】
解题时先观察表格中已知的点的个数和线段总条数的对应关系：当线段上有n个点（含端点）时，按顺序数线段，从最左侧点出发可连(n-1)条线段，第二个点出发可连(n-2)条不重复的线段，直到最后1条，总和就是从1到(n-1)的累加和。先根据规律完成第一问，再推导通用公式，最后将公式应用到握手、站点票价等同类实际问题中即可。
【解析】
(1) 当n=7时，线段AB上除A、B外共5个点，图例为A到B之间依次标注C、D、E、F、G五个点；线段总条数$N=6+5+4+3+2+1=21$。
(2) 观察已知数据：
n=3时，$N=3=\frac{3×2}{2}$；n=4时，$N=6=\frac{4×3}{2}$；n=5时，$N=10=\frac{5×4}{2}$；
以此类推，可得线段总条数N和点的个数n的关系为：$N=\frac{n(n-1)}{2}$。
(3) 将n=10代入公式，得$N=\frac{10×(10-1)}{2}=45$。
(4) ① 45名同学相当于45个点，每两人握手1次对应两点间的1条线段，代入公式得总握手次数为$\frac{45×(45-1)}{2}=990$次。
② 甲乙两市加中间6个站点，总站点数为$2+6=8$个：
票价往返相同，因此票价种数等于线段总条数：$\frac{8×(8-1)}{2}=28$；
车票需要考虑往返方向，因此车票种数为$28×2=56$，即m=28，n=56，故选D。
【答案】
(1) 图例：线段AB上依次标注点A、C、D、E、F、G、B，$21=6+5+4+3+2+1$
(2) $N=\frac{n(n-1)}{2}$
(3) 45
(4) ① 990；② D
【知识点】
线段计数、规律探究、实际应用
【点评】
本题核心是推导线段计数的通用公式，同时考查公式的迁移应用能力，解题时要注意区分车票和票价的差异，车票需考虑往返方向，票价仅和两点间距离有关。
【难度系数】
0.7
