【分析】
角度的度量单位度、分、秒为60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，运算规则如下：①加减运算：同单位相加减，相加时满60向高一级单位进1，相减时不够减就向高一级单位借1当作60再计算；②乘法运算：分别用乘数乘度、分，结果满60就向高一级单位进1；③除法运算：先用除数除度，余数转化为分后和原有分合并，再除以除数即可。我们按照上述规则逐个计算即可。
【解析】
(1) 先将度、分分别相加：
$48°+67°=115°$，$39'+31'=70'$
因为$70'=1°10'$，所以$115°+1°10'=116°10'$。
(2) 被减数无秒单位，先从分位借$1'$转化为$60''$，即$61°39'=61°38'60''$，再同单位相减：
$61°-22°=39°$，$38'-5'=33'$，$60''-32''=28''$
合并结果为$39°33'28''$。
(3) 分别用6乘度、分：
$21°×6=126°$，$17'×6=102'$
因为$102'=1°42'$，所以$126°+1°42'=127°42'$。
(4) 先计算度的除法：$65°÷4=16°$余$1°$，将$1°$转化为$60'$，和原有$24'$合并得$84'$；再计算分的除法：$84'÷4=21'$，合并结果为$16°21'$。
【答案】
(1) $116°10'$；(2) $39°33'28''$；(3) $127°42'$；(4) $16°21'$
【知识点】
度分秒的换算，角的和差运算，角的乘除运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，解题核心是熟练掌握度分秒60进制的换算规则，计算时注意加法进位、减法借位的处理，细心运算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道作图题，首先明确角的和、差的定义：两角相加时，需将两角顶点、一条边重合，另外两条边在重合边的两侧，得到的大角即为两角之和；两角相减时，需将两角顶点、一条边重合，另外两条边在重合边的同侧，得到的小角即为两角之差。
（1）要得到∠DOE=∠α+∠β，已知∠β=∠COD，我们可以以OC为公共边，在OC远离OD的一侧构造与∠α=∠AOB大小相等的∠EOC，此时∠EOC+∠COD=∠α+∠β=∠DOE，在格点中找到符合条件的点E即可。
（2）要得到∠DOF=∠β-∠α，我们可以以OC为公共边，在∠COD内部构造与∠α大小相等的∠COF，此时∠COD-∠COF=∠β-∠α=∠DOF，在格点中找到符合条件的点F即可。
【解析】
（1）观察∠AOB的格点特征，找到点E使∠EOC和∠AOB大小相等，且OE、OD分别在OC的两侧，连接OE，此时∠DOE=∠EOC+∠COD=∠α+∠β，满足题目的要求。
（2）观察∠AOB的格点特征，找到点F使∠COF和∠AOB大小相等，且OF、OD在OC的同侧，连接OF，此时∠DOF=∠COD-∠COF=∠β-∠α，满足题目的要求。
【答案】

【知识点】
角的和差、等角构造、格点作图
【点评】
本题考查对角的和差概念的理解与实际应用，结合格点特征构造大小相等的角是解题的核心，对学生的观察能力和动手作图能力有一定要求。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 一副三角板的固定角度为30°、45°、60°、90°，要画出其他角，只需通过这些角度的和或差拼接即可，最终得到的角均为15°的整数倍（不超过180°），除题干给出的角度外还有很多符合要求的角。
(2) 首先利用周角为360°的性质，计算出∠BOD与∠AOC的度数和；再结合已知的角的比例关系，推导得出∠DOP占∠BOD的$\frac{1}{3}$、∠QOC占∠AOC的$\frac{1}{3}$，进而求出这两个角的度数和；最后观察∠POQ的组成，它是由∠DOP、∠COD、∠QOC三部分组成的，代入对应数值即可算出结果。
【解析】
(1) 利用三角板角度的和差计算，可得：
$15°=45°-30°$，$75°=30°+45°$，$105°=60°+45°$，$135°=90°+45°$，$150°=90°+60°$，$165°=90°+45°+30°$，以上角度均可以用三角板画出。
(2) 已知$∠AOB=90°$，$∠COD=30°$，根据周角为$360°$可得：
$∠BOD+∠AOC=360°-∠AOB-∠DOC=360°-90°-30°=240°$
由$∠POB=2∠DOP$，可得$∠BOD=∠POB+∠DOP=3∠DOP$，即$∠DOP=\frac{1}{3}∠BOD$；
由$∠QOA=2∠QOC$，可得$∠AOC=∠QOA+∠QOC=3∠QOC$，即$∠QOC=\frac{1}{3}∠AOC$；
因此$∠DOP+∠QOC=\frac{1}{3}(∠BOD+∠AOC)=\frac{1}{3}×240°=80°$；
又因为$∠POQ=∠DOP+∠COD+∠QOC$，代入数值得：
$∠POQ=80°+30°=110°$
【答案】
(1) 还能画出$15°、75°、105°、135°、150°、165°$的角（答案不唯一，合理即可）
(2) $∠POQ$的度数为$110°$
【知识点】
三角板拼角，角的和差运算，周角的性质
【点评】
本题结合三角板特征考查角的相关计算，第一问为开放型题目，掌握三角板各角度度数通过和差运算即可求解；第二问需要运用整体思想求出相关角的和，再结合角的组成计算结果，能锻炼考生的整体思维能力。
【难度系数】
0.7