12. (1) 如图①，OC是∠AOB内的一条射线，OD，OE分别平分∠AOB，∠AOC. 若∠BOC=90°，求∠DOE.
(2) 小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若∠BOC=m°，则∠DOE=
$\frac{m°}{2}$
.
(3) 已知直线AM，BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM，ON重合，OD，OE分别平分∠AOB，∠AOC，当∠BOC=m°时，求∠DOE.(在备用图中画出示意图求解)
答案：12. (1) $∠ DOE=45°$. 设$∠ AOC=α°$,则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+90°$,因为OD平分$∠ AOB$,OE平分$∠ AOC$,所以$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α°+90°)-\frac{1}{2}α°=\frac{1}{2}×90°=45°$
(2) $\frac{m°}{2}$. 设$∠ AOC=α°$,则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=α°+m°$,因为OD平分$∠ AOB$,OE平分$∠ AOC$,所以$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(α°+m°)-\frac{1}{2}α°=\frac{m°}{2}$
(3) ① 当OC在AM上,即OC在$∠ BOM$之间,设$∠ AOC=α°$,则$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=α°-m°$,因为OD平分$∠ AOB$,OE平分$∠ AOC$,所以$∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}α°-\frac{1}{2}(α°-m°)=\frac{m°}{2}$;② 当OC在直线AM下方,且OC在$∠ MON$之间时,$∠ BOC=∠ AOC=m°$,$∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}∠ BOC=180°-\frac{m°}{2}$;③ 当OC在直线AM下方,且OC在$∠ AON$之间时,由②得,$∠ BOC=m°$,$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{m°}{2}$.综上所述,$∠ DOE=\frac{m°}{2}$或$180°-\frac{m°}{2}$
