【分析】
解题时先连接辅助线$O_1C$、$O_2C$，首先根据两圆半径均为2，且$O_2$在$\odot O_1$上，可判定$△ O_1CO_2$为等边三角形，得到$∠ CO_1E=60°$；再结合$CD⊥ AB$，利用垂径定理可推出$∠ DO_1E=∠ CO_1E=60°$，再根据圆周角定理即可求出$∠ DAB$的度数；求$AD$长度时，先在$Rt△ O_1CE$中求出$O_1E$、$CE$的长度，进而得到$AE$、$DE$的长度，最后用勾股定理计算$AD$即可。
【解析】
解：连接$O_1C$、$O_2C$
$\because \odot O_1$和$\odot O_2$的半径均为2，且$O_2$在$\odot O_1$上
$\therefore O_1C=O_1O_2=O_2C=2$，即$△ O_1CO_2$是等边三角形
$\therefore ∠ CO_1E=60°$
$\because CD⊥ AB$，且$AB$过$\odot O_1$的圆心$O_1$
根据垂径定理可得：$CE=DE$，$∠ DO_1E=∠ CO_1E=60°$
$\because ∠ DAB$是$\odot O_1$中弧$BD$所对的圆周角，$∠ DO_1E$是弧$BD$所对的圆心角
$\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ DO_1E=30°$
在$Rt△ O_1CE$中，$O_1C=2$，$∠ CO_1E=60°$
$\therefore O_1E=O_1C·\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，$CE=O_1C·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
$\therefore DE=CE=\sqrt{3}$，$AE=AO_1+O_1E=2+1=3$
在$Rt△ AED$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
【答案】
$∠ DAB$的大小为$\boxed{30°}$，$AD$的长为$\boxed{2\sqrt{3}}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是通过构造辅助线得到等边三角形，再结合垂径定理、圆周角定理推导角度，最后利用勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，属于圆章节的常规题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先结合已知的等弧条件，利用等弧所对的圆周角相等，求出∠CAB的度数，进而得到∠DAB的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ABD的度数；最后利用三角形内角和定理，即可计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ CAB=∠ CAD=30°$（等弧所对的圆周角相等），
∴$∠ DAB=∠ CAD+∠ CAB=30°+30°=60°$。
又
∵$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角为$∠ ABD$和$∠ ACD$，
∴$∠ ABD=∠ ACD=50°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ADB=180°-∠ DAB-∠ ABD=180°-60°-50°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆周角定理推论，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，核心是找准等弧、同弧对应的圆周角，结合三角形内角和即可求解，是圆周角知识点的常见考查题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明ED平分∠AEB，只需证明∠AED=∠BED。根据圆周角相关性质，同圆中相等的圆周角对应的弧相等，反之相等的弧对应的圆周角也相等，因此可将证角相等转化为证两角对应的弧$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。已知CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD，这两个圆周角对应的弧恰好是$\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{BD}$，由此可推出$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，进而得到∠AED=∠BED，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CD平分$∠ACB$，
∴ $∠ACD=∠BCD$（角平分线的定义），
∵ 在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}$，
∵ 在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，
∴ $∠AED=∠BED$，
∴ ED平分$∠AEB$（角平分线的定义）。
【答案】
证明:$\because$ CD 平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB},\therefore ∠ AED=∠ BED$,
$\therefore ED$ 平分$∠ AEB$.
【知识点】
圆周角性质、弧角对应关系、角平分线定义
【点评】
本题属于圆周角性质的基础应用题目，解题关键是熟练掌握同圆中圆周角与对应弧的相互转化关系，通过已知角平分线推出等弧，再由等弧得到待证的等角，逻辑链条清晰，能够有效巩固圆中角和弧的转化思路。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题思路如下：首先明确AB是圆的直径，可得平角∠AOB=180°，结合已知∠POA=x°，先求出弧PB对应的圆心角∠POB的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可知∠PQB（即y°）等于∠POB的一半，最后化简等式即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$，
∵ $∠ POA=x°$，
∴ $∠ POB=∠ AOB - ∠ POA=180° - x°$，
∵ $∠ PQB$是弧PB所对的圆周角，$∠ POB$是弧PB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ PQB=\frac{1}{2}∠ POB$，即$y°=\frac{1}{2}(180 - x)°$，
化简得：$y=-\frac{1}{2}x + 90$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x+90$
【知识点】
圆周角定理，平角定义，列函数解析式
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到同一段弧对应的圆周角和圆心角，结合平角的性质建立等量关系即可推导得到函数式，要求熟练掌握圆周角定理的内容。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先观察图形特征：AB是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角；已知∠D的度数，可利用同弧所对的圆周角相等，得到与∠D同对弧AC的∠ABC的度数，最后在直角三角形ACB中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CAB的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，弧AC所对的圆周角为∠ABC和∠ADC，因此$∠ ABC = ∠ ADC = 40°$；
2. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ ACB = 90°$；
3. 在$Rt△ ACB$中，两个锐角互余，因此$∠ CAB = 90° - ∠ ABC = 90° - 40° = 50°$。
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是找到同弧对应的相等圆周角，再结合直径对应的直角特征求解，是圆相关角度计算的常见考题。
【难度系数】
0.8