2. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，连接AC，AD，若$∠ CAB=35°$，则$∠ ADC$的度数为
55
°.
答案：2. 55.
解析：
【分析】
解题时首先观察已知条件：AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，因此可连接BC构造直角三角形ABC；先在直角三角形中求出∠ABC的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”，可知∠ADC与∠ABC相等，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ CAB=35°$，
∴$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-35°=55°$，
又
∵$∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
∴$∠ ADC=∠ ABC=55°$。
【答案】
55
【知识点】
直径的圆周角性质，同弧圆周角相等，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础题型，核心考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是通过构造辅助线，将待求角和已知角转化为同弧所对的圆周角建立联系，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.如图,点A,C,B,D在$\odot O$上,CD是直径,$∠1=30°$,则$∠2=$
60
°.
答案：3. 60.
解析：
【分析】
解题时先回忆圆周角的相关性质：首先，∠1是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得到与∠1相等的圆周角∠CDB；再结合CD是直径，直径所对的圆周角为直角，得到△CBD是直角三角形，最后利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠2的度数。
【解析】
∵ ∠1和∠CDB都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠CDB = ∠1 = 30°，
∵ CD是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠CBD = 90°，
在Rt△CBD中，∠2 + ∠CDB = 90°，
∴ ∠2 = 90° - 30° = 60°。
【答案】
60
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题核心是找准同弧对应的相等圆周角，再结合直径的性质转化为直角三角形求解，是圆中角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$\odot O$中，AB是直径，点D，E在AB的同侧，点C在AB的另一侧，若$∠ E=40°$，求$∠ D$的度数。
答案：4. $50°$.
解析：
【分析】
解题时先回忆圆周角相关定理：首先圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，直径对应的半圆的弧度数为180°。已知∠E的度数，我们可以先求出∠E所对的弧BC的度数，再结合AB是直径算出弧AC的度数，最后∠D是弧AC所对的圆周角，用弧AC的度数除以2即可得到∠D的度数。
【解析】
解：
∵ 圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，∠E是弧BC所对的圆周角，且$∠ E=40°$，
∴ 弧BC的度数为 $2×40°=80°$，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ 弧AB为半圆，度数为$180°$，
∴ 弧AC的度数为 $180° - 80°=100°$，
又
∵ ∠D是弧AC所对的圆周角，
∴ $∠ D=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，弧的度数计算
【点评】
本题属于圆周角定理的基础应用题型，解题核心是明确圆周角和其所对应弧的度数关系，结合直径对应的弧为180°即可快速求解，掌握基础定理就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
问题 如图(1)，AB是$\odot O$的一条弦，点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD是$\odot O$的直径，过点C的直线$l$交AB所在直线于点E，交$\odot O$于点F.
（1）猜想图中$∠ CEB$与$∠ D$的关系(不必证明)；
（2）操作：将直线$l$绕点C旋转(不与CD重合)，在旋转过程中，点E、点F的位置也随之变化，请你在两个备用图中分别画出$l$在不同位置时，使(1)的结论仍然成立的图形，并标上相应的字母；
（3）在你画出的两个图形中，选出其中一个图形来证明你的猜想.
名师指导
（1）由已知条件得两个有公共锐角的$\mathrm{Rt}△ CEG$与$\mathrm{Rt}△ CDF$；(2)由于是直线$l$交AB所在直线于E，所以可将点E取在BG上或BA的延长线上或AB的延长线上；(3)证明思路与(1)类似.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：解：
(1) 猜想：$\boldsymbol{∠ CEB = ∠ D}$。
(2) 图形绘制：
第一个备用图：作弦$AB$，取$\overset{\frown}{AB}$的中点$C$，作直径$CD ⊥ AB$，直线$l$过点$C$，交$AB$的延长线于点$E$，交$\odot O$于点$F$，依次标注点$A,B,C,D,E,F,O$。
第二个备用图：作弦$AB$，取$\overset{\frown}{AB}$的中点$C$，作直径$CD ⊥ AB$，直线$l$过点$C$，交$BA$的延长线于点$E$，交$\odot O$于点$F$，依次标注点$A,B,C,D,E,F,O$。
(3) 选取点$E$在$BA$延长线上的图形证明如下：
∵ 点$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CD$是$\odot O$的直径，
∴ 由垂径定理得 $CD ⊥ AB$，即$∠ CGE = 90°$，
∴ $∠ CEB + ∠ ECD = 90°$。
∵ $CD$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，
∴ $∠ CFD = 90°$，
∴ $∠ D + ∠ ECD = 90°$。
∴ $∠ CEB = ∠ D$。
解析：
【分析】
第(1)问：已知点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD是$\odot O$的直径，根据垂径定理可推出CD垂直AB；又直径所对的圆周角为直角，可得$∠ CFD=90°$，此时$∠ CEB$和$∠ D$都与$∠ ECD$互余，即可判断二者关系。
第(2)问：直线$l$绕点C旋转时，交点E可以出现在AB的延长线或者BA的延长线上，分别对应两种不同的图形，按要求标注对应字母即可。
第(3)问：任选一个绘制好的图形，先利用垂径定理得到$CD⊥ AB$，再利用直径所对圆周角是直角得到两个直角三角形，根据同角的余角相等即可证明猜想成立。
【解析】
(1) 结合已知条件推导，可直接得到$∠ CEB$与$∠ D$的关系。
(2) 图形绘制：
① 第一个备用图：作弦$AB$，取$\overset{\frown}{AB}$的中点$C$，作直径$CD$，由垂径定理得$CD ⊥ AB$；画过点$C$的直线$l$，交$AB$的延长线于点$E$，交$\odot O$于另一点$F$，依次标注点$A,B,C,D,E,F,O$。
② 第二个备用图：作弦$AB$，取$\overset{\frown}{AB}$的中点$C$，作直径$CD$，得$CD ⊥ AB$；画过点$C$的直线$l$，交$BA$的延长线于点$E$，交$\odot O$于另一点$F$，依次标注点$A,B,C,D,E,F,O$。
(3) 选取点$E$在$BA$延长线上的图形证明：
∵ 点$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CD$是$\odot O$的直径，
∴ 由垂径定理得 $CD ⊥ AB$，即$∠ CGE = 90°$，
∴ $∠ CEB + ∠ ECD = 90°$。
∵ $CD$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，
∴ $∠ CFD = 90°$，
∴ $∠ D + ∠ ECD = 90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠ CEB = ∠ D$。
（选取E在AB延长线上的图形，证明过程完全一致）
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CEB = ∠D}$；
(2) 符合要求的图形见上述解析的绘制说明；
(3) 证明过程见上述解析，猜想成立。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，余角的性质
【点评】
本题结合直线旋转的动态场景考查圆的基础性质，需要用到分类讨论思想，解题时抓住“CD垂直AB”“直径所对圆周角为直角”两个不变的核心条件，即可快速推导角的关系，能够帮助巩固圆的相关基础知识点。
【难度系数】
0.7
