【分析】
解题时首先观察已知条件，AC是圆的直径，优先想到直径所对的圆周角为直角，可得△ABC是直角三角形；再结合已知的∠ACB的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，可知∠BPC和∠BAC相等，即可得到所求角度。
【解析】
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=40°$，
∴$∠ BAC=90°-∠ ACB=90°-40°=50°$，
又
∵$∠ BPC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ BPC=∠ BAC=50°$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是先通过直径得到直角三角形，再结合同弧所对圆周角相等的性质完成角度的转化，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时需分别验证嘉嘉和淇淇的说法：①验证嘉嘉的说法：当B与M、N重合时，利用直角所对圆周角为直径的性质，得到AC为圆的直径，结合直角三角形边角关系求∠C即可判断；②验证淇淇的说法：先利用垂径定理求出弦MN的弦心距，当OA与MN平行时，两条平行线的距离等于圆心O到MN的距离，对比淇淇给出的距离即可判断正误。
【解析】
1. 验证嘉嘉的说法：
当点B与点M或N重合时，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°。根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此AC是⊙O的直径。
已知⊙O半径为3，可得AC=2×3=6。
在Rt△ABC中，AB=3，因此$\sin∠C = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，解得∠C=30°，故嘉嘉的说法正确。
2. 验证淇淇的说法：
过圆心O作OH⊥MN于点H，根据垂径定理，$MH=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
在Rt△OMH中，OM为半径长3，由勾股定理得$OH=\sqrt{OM^2 - MH^2}=\sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}\approx2.45$。
当OA//MN时，直线OA与直线MN的距离等于点O到MN的距离$OH=\sqrt{6}$，由于点B在MN上，因此点B到OA的距离为$\sqrt{6}≠2$，故淇淇的说法错误。
综上，嘉嘉正确，淇淇错误。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题将圆的性质与直角三角形计算结合考查，需要对两种说法分别推导验证，解题的核心是熟练运用圆周角定理、垂径定理完成几何量的转化。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）首先根据“直径所对的圆周角为直角”，可得△ACB和△ADB均为直角三角形，已知Rt△ACB的斜边AB和直角边BC，可直接用勾股定理计算AC的长度；再由CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，推得弧AD=弧BD，进而得到AD=BD，最后在Rt△ADB中用勾股定理即可求出BD的长度。
（2）四边形ADBC的面积可拆分为△ACB和△ADB的面积之和，分别求出两个直角三角形的面积后相加即可得到结果。
【解析】
解：(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB中，AB=10cm，BC=8cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}$。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$（相等的圆周角所对的弧相等），
∴AD=BD。
在Rt△ADB中，AD=BD，AB=10cm，由勾股定理得：
$AD^2+BD^2=AB^2$，即$2BD^2=10^2$，
解得$BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$（边长为正，舍去负根）。
(2) 分别计算两个直角三角形的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm^2}$，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AD× BD=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}=\frac{1}{2}×50=25\ \mathrm{cm^2}$，
∴四边形ADBC的面积$S=S_{△ ABC}+S_{△ ABD}=24+25=49\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1) $AC=6\ \mathrm{cm},BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；(2) $49\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，解题核心是利用直径的性质构造直角三角形，再结合角平分线与圆周角、弧、弦的对应关系得到边的等量关系，拆分图形计算面积即可，难度不高，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）求解∠DEB的度数时，首先观察到∠DEB是圆周角，对应弧$\overset{\frown}{BD}$；结合已知条件$OD⊥ AB$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，再依据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可用已知的$∠ AOD$求出$∠ DEB$的度数。
（2）求解AB的长度时，根据垂径定理可知$AB=2AC$，只需先在$Rt△ OAC$中用勾股定理算出AC的长度，再乘2即可得到AB的长。
【解析】
（1）$\because OD⊥ AB$，且OD是$\odot O$的半径
$\therefore$由垂径定理得：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
$\because ∠ DEB$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$∠ AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角
$\therefore$由圆周角定理得：$∠ DEB=\frac{1}{2}∠ AOD$
代入$∠ AOD=52°$，得$∠ DEB=\frac{1}{2}×52°=26°$
（2）$\because OD⊥ AB$
$\therefore AC=BC$，且$△ OAC$为直角三角形
在$Rt△ OAC$中，$OC=3$，$OA=5$
由勾股定理得：$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
$\therefore AB=2AC=2×4=8$
【答案】
(1) $\boxed{26°}$；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常考题，考查圆的核心基础性质的应用，解题时只要熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8