【分析】
要证明平行四边形ABCD为矩形，根据矩形的判定规则，只需证明该平行四边形存在一个内角为90°即可。已知条件给出两个关键信息：一是四边形ABCD是圆内接四边形，可推出其对角互补；二是四边形ABCD是平行四边形，可推出其对角相等。结合这两个角的性质，即可推导得到内角为90°，进而完成证明。
【解析】
第一步：利用圆内接四边形的性质，得到对角之和为180°：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ A+∠ C=180°$。
第二步：利用平行四边形的性质，得到对角相等：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $∠ A=∠ C$。
第三步：联立上述两个结论，计算得到$∠ A=90°$：
将$∠ A=∠ C$代入$∠ A+∠ C=180°$，得$2∠ A=180°$，即$∠ A=90°$。
第四步：根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此$□ ABCD$是矩形。
【答案】
证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O,\therefore ∠ A+∠ C=180°.$ $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore ∠ A=∠ C,\therefore ∠ A=90°,\therefore □ ABCD$ 是矩形.
【知识点】
圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合了圆与特殊四边形的相关知识，解题关键是熟练掌握各图形的性质与判定定理，通过角的数量关系推导得到直角即可完成证明。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 解决旋转相关问题时，首先找旋转过程中固定不动的点，即为旋转中心；旋转角是一组对应边的夹角，结合正方形内角为90°即可求出旋转角度。
(2) 判断两条线段的数量和位置关系时，先根据旋转的性质得到旋转前后的三角形全等，利用全等性质可得到对应边相等，即可得出数量关系；再通过对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导得到两条线段的夹角为90°，即可得出位置关系。
【解析】
(1) △ADF旋转得到△ABE的过程中，只有点A始终保持不动，因此旋转中心为点A；
AD是△ADF的边，旋转后对应的边为AB，又因为四边形ABCD是正方形，∠BAD=90°，因此旋转角度为90°。
(2) BE与DF的数量关系为$BE=DF$，位置关系为$BE⊥ DF$，理由如下：
因为△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，所以$△ ABE≌△ ADF$。
根据全等三角形的性质，对应边相等，因此$BE=DF$；对应角相等，因此$∠ ABE=∠ ADF$。
在$Rt△ ADF$中，$∠ DAF=90°$，因此$∠ ADF+∠ F=180°-90°=90°$，将$∠ ADF$替换为$∠ ABE$，可得$∠ ABE+∠ F=90°$，即BE与DF的夹角为90°，因此$BE⊥ DF$。
【答案】
(1) 点$A$；$90°$
(2) $BE=DF$，$BE⊥ DF$，理由见解析
【知识点】
旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题型，主要考查旋转的概念与性质的应用，结合了全等三角形和垂直判定的相关知识，解题的核心是熟练掌握旋转前后图形全等的性质。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 已知二次函数的顶点式以及图象经过的定点坐标，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点(3,0)代入解析式，解关于a的一元一次方程即可求出a的值。
(2) A、B是二次函数与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此先令y=0，解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标，再根据x轴上两点的距离等于横坐标差的绝对值，即可求出AB的长度。
【解析】
(1) 将点$(3,0)$代入$y=a(x-2)^2 -1(a≠0)$，得：
$a(3-2)^2 -1=0$
化简得$a-1=0$，解得$a=1$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=(x-2)^2 -1$，令$y=0$，可得：
$(x-2)^2 -1=0$
移项得$(x-2)^2=1$，开平方得$x-2=\pm1$，
解得$x_1=3$，$x_2=1$，即A、B两点坐标为$(1,0)$、$(3,0)$，
因此$AB=|3-1|=2$。
【答案】
(1) $a=1$；(2) $AB=2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程，坐标轴两点距离
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式、二次函数与x轴交点的求解逻辑，解题思路直接，掌握对应基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

【分析】
(1) 要证明AC平分∠DAB，核心是证明∠DAC=∠OAC。遇到圆的切线首先连接过切点的半径OC，利用切线性质得OC⊥CD，结合AD⊥CD可推出AD//OC，得到内错角∠DAC=∠ACO，再结合OA=OC的等腰三角形等边对等角的性质，即可推出两个角相等，完成证明。
(2) 所求阴影部分为不规则图形，可转化为规则图形面积的差计算：即阴影面积=Rt△COE的面积-扇形OBC的面积。首先由AB长度可得圆半径为10，通过构造全等三角形求出相关线段长度，推导得出△BOC为等边三角形得到圆心角∠BOC=60°，再在直角三角形中求出CE的长度，分别计算三角形和扇形面积作差即可得到结果。
【解析】
(1) 证明:如图(1),连接 $OC$,
$\because CD$ 与$\odot O$ 相切于点 $C$,$\therefore OC⊥ CD$,$\therefore ∠ OCD=90°.$
$\because AD⊥ CD$,$\therefore ∠ ADC=90°$,$\therefore ∠ OCD+∠ ADC=180°$,$\therefore AD// OC$,$\therefore ∠ DAC=∠ ACO.$
$\because OA=OC$,$\therefore ∠ ACO=∠ OAC$,$\therefore ∠ DAC=∠ OAC$,$\therefore AC$ 平分$∠ DAB.$
(2) 解:如图(2),过点 $C$ 作 $CH⊥ AB$ 于点 $H$,则$∠ CHA=90°.$
在$△ ACD$ 和$△ ACH$ 中,
$\begin{cases}∠ D=∠ CHA,\\∠ DAC=∠ HAC,\\AC=AC.\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ ACH$ (AAS),$\therefore AH=AD=15.$
$\because OA=OB=OC=\frac{1}{2}AB=10$,$\therefore OH=AH-OA=15-10=5$,$BH=OB-OH=10-5=5$,即$OH=BH$,
$\therefore CH$ 垂直平分 $OB$,$\therefore OC=BC$,
$\therefore OC=OB=BC$,$\therefore △ BOC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ BOC=60°.$
$\mathrm{Rt}△ COE$ 中,$∠ OCE=90°,∠ BOC=60°$,则 $CE=\sqrt{3}OC=10\sqrt{3}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴}}=S_{△ COE}-S_{\mathrm{扇}OBC}=\frac{1}{2}×10×10\sqrt{3}-\frac{60π×10^2}{360}=50\sqrt{3}-\frac{50π}{3}.$
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $50\sqrt{3}-\frac{50π}{3}$

【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合类典型题，第一问考查切线性质、平行线及等腰三角形性质的应用，连接过切点的半径是切线类题目的常规辅助线思路；第二问考查不规则图形面积的计算，核心是将不规则面积转化为规则图形面积的差，同时考查了转化思想的应用，对基础知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6