【分析】
(1) 第一问利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知点代入抛物线解析式，解关于k的一元一次方程即可得到结果。
(2) 第二问有两种解题思路：①代数法：分别将两个点的横坐标代入解析式求出y₁、y₂的表达式，结合y₁＞y₂列不等式求解；②数形结合法：先求抛物线对称轴，已知抛物线开口向上时，点离对称轴越远函数值越大，据此列绝对值不等式求解即可。
(3) 第三问先将原抛物线配方为顶点式，根据“左加右减”的平移规律得到新抛物线解析式，再结合开口向上的性质，分对称轴在给定区间[1,2]左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论，分别求出对应情形下的最小值，令其等于-3/2，解方程后筛选符合条件的k值即可。
【解析】
(1) 把点$(1,k^2)$代入抛物线$y=x^2-2(k-1)x+k^2-\frac{5}{2}k$，得：
$k^2=1^2-2(k-1)+k^2-\frac{5}{2}k$
化简得：$0=3-\frac{9}{2}k$
解得 $k=\frac{2}{3}$。
(2) 法1：数形结合法
抛物线对称轴为直线 $x=k-1$，$\because a=1＞0$，$\therefore$ 抛物线上的点离对称轴越远，$y$ 值越大，
$\because y_1＞y_2$，$\therefore |2k-(k-1)|＞|2-(k-1)|$，
即$|k+1|＞|3-k|$，平方后化简得$8k＞8$，解得 $k＞1$。
法2：代数法
把点 $(2k,y_1)$ 代入抛物线解析式，得 $y_1=(2k)^2-2(k-1)·2k+k^2-\frac{5}{2}k=k^2+\frac{3}{2}k$，
把点 $(2,y_2)$ 代入抛物线解析式，得 $y_2=2^2-2(k-1)×2+k^2-\frac{5}{2}k=k^2-\frac{13}{2}k+8$。
$\because y_1＞y_2$，$\therefore k^2+\frac{3}{2}k＞k^2-\frac{13}{2}k+8$，化简得$8k＞8$，解得 $k＞1$。
(3) 先将原抛物线配方得 $y=(x-k+1)^2-\frac{1}{2}k-1$，向右平移1个单位长度后得到新解析式为 $y=(x-k)^2-\frac{1}{2}k-1$，新抛物线对称轴为直线$x=k$，开口向上，分三种情况讨论：
①当 $k＜1$ 时，$1≤ x≤2$ 在对称轴右侧，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore x=1$ 时，$y_{\mathrm{最小}}=(1-k)^2-\frac{1}{2}k-1=k^2-\frac{5}{2}k$，
令$k^2-\frac{5}{2}k=-\frac{3}{2}$，解得 $k_1=1,k_2=\frac{3}{2}$，均不符合$k＜1$，全部舍去；
②当 $1≤ k≤2$ 时，对称轴在区间内，$y_{\mathrm{最小}}=-\frac{1}{2}k-1$，
令$-\frac{1}{2}k-1=-\frac{3}{2}$，解得 $k=1$，符合条件；
③当 $k＞2$ 时，$1≤ x≤2$ 在对称轴左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore x=2$ 时，$y_{\mathrm{最小}}=(2-k)^2-\frac{1}{2}k-1=k^2-\frac{9}{2}k+3$，
令$k^2-\frac{9}{2}k+3=-\frac{3}{2}$，解得 $k_1=3,k_2=\frac{3}{2}$，其中$\frac{3}{2}$不符合$k＞2$舍去，保留$k=3$。
综上，$k=1$或$3$。
【答案】
(1) $k=\frac{2}{3}$
(2) $k＞1$
(3) $k=1$或$3$
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数平移，含参二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，覆盖了点与函数图象的关系、函数值比较、图象平移、区间最值多个考点，解题时注意灵活选择方法，第三问需按对称轴位置分类讨论，同时要对求解结果进行合理性检验，避免出现不符合区间条件的解。
【难度系数】
0.6
