1. 两个连续奇数的积为323，求这两个数。
答案：1. 17,19.
解析：
【分析】
首先明确连续奇数的特征：相邻两个奇数的差为2，因此我们可以设较小的正奇数为未知数，用含未知数的式子表示出较大的连续奇数，再根据两个数的乘积为323这一等量关系列出一元二次方程，求解方程后结合正奇数的要求筛选出符合题意的解即可。
【解析】
解：设较小的正奇数为$ x $，则较大的连续奇数为$ x+2 $。
根据题意列方程：
$ x(x+2) = 323 $
整理得：
$ x^2 + 2x - 323 = 0 $
因式分解得：
$ (x-17)(x+19) = 0 $
解得：$ x_1=17 $，$ x_2=-19 $（不符合正奇数要求，舍去）
则较大的奇数为：$ 17+2=19 $
【答案】
17，19
【知识点】
一元二次方程的应用、奇数的性质、一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程在数字问题中的典型应用，解题关键是抓住连续奇数的数量关系正确设未知数，根据题干给出的乘积条件列方程，最后要注意结合题意对解的合理性进行筛选。
【难度系数】
0.8
2. 一个两位数，它的两个数字之和是6，把这两个数字交换位置后，所得的两位数与原两位数的积是1 008，求原来的两位数。
答案：2. 24 或 42.
解析：
【分析】
解决这道数字类应用题，首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以先根据两个数字之和为6，设其中一个数位的数字为未知数，用含未知数的式子表示另一个数位的数字，再分别写出原两位数和交换位置后的新两位数，结合两者乘积为1008的条件列一元二次方程求解，最后检验所得的解是否符合数位的取值要求（十位数字不能为0，数字为0~9的整数）即可。
【解析】
设原两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$6-x$。
原两位数可表示为：$10(6-x)+x=60-9x$
交换位置后的新两位数可表示为：$10x+(6-x)=9x+6$
根据题意列方程：
$(60-9x)(9x+6)=1008$
展开并整理方程：
$\begin{aligned}-81x^2+486x+360&=1008\\81x^2-486x+648&=0\\x^2-6x+8&=0\end{aligned}$
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$。
当$x=2$时，十位数字为$6-2=4$，原两位数为42；
当$x=4$时，十位数字为$6-4=2$，原两位数为24。
两个解均符合数位取值要求。
【答案】
24或42
【知识点】
一元二次方程的应用、两位数的表示
【点评】
本题是典型的数字类实际应用题，解题核心是正确用未知数表示出交换前后的两位数，求解方程后要注意检验解是否符合数字的实际意义，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
3. 某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元.其中24套免费赠给24名家庭贫困学生.经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润.这批演出服共生产了多少套？
答案：3. 120 套;提示:设生产了$x$套演出服,得 $30x-3\ 000=24×\frac{3\ 000}{x}$.
解析：
【分析】
这是一道利用方程解决的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先明确：原定生产这批演出服的总利润=总售价-总成本；24套演出服的成本=单套成本×24，其中单套成本=总成本÷总生产套数。题目给出两个量相等，我们设总套数为未知数，根据等量关系列方程求解即可，最后要注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设这批演出服共生产了$x$套。
单套演出服的成本为$\frac{3000}{x}$元，原定总利润为$(30x - 3000)$元。
根据“24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润”，列方程得：
$30x - 3000 = 24×\frac{3000}{x}$
方程两边同时乘$x$消去分母，得：
$30x^2 - 3000x = 72000$
两边同时除以30化简，得：
$x^2 - 100x - 2400 = 0$
因式分解得：
$(x - 120)(x + 20) = 0$
解得$x_1=120$，$x_2=-20$。
因为演出服套数不能为负数，故舍去$x=-20$，且$x=120$时分母不为0，符合原方程和实际意义。
【答案】
120套
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 利润问题计算
3. 分式方程验根
【点评】
本题属于销售类实际应用题，解题的关键是准确抓住题干中的等量关系建立方程，求解后要注意结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
4. 电影《万里归途》以中国外交真实撤侨事件为背景，讲述了一段不为人知的撤侨故事.下表是该影片票房的部分数据.(注:票房是指截至发布日期的所有售票累计收入)
影片《万里归途》的票房部分统计数据
（1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？
（2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月9日、10日、11日三天共卖出多少张电影票？
答案：4. (1) 10%；(2) 2 500 000 张.
解析：
【分析】
（1）本题为平均增长率问题，核心等量关系为：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量。首先明确初始量是10月8日的10亿元，最终量是10月12日的12.1亿元，从第1次发布到第3次发布共经历2次增长，设增长率为x列一元二次方程求解即可，注意舍去不符合实际的负根。
（2）先利用（1）的增长率求出10月11日的累计票房，用该票房减去10月8日的累计票房得到三天的总票房，再统一单位后除以单张票价即可得到总售票数。
【解析】
（1）设平均每次累计票房增长的百分率为$ x $。
根据题意列方程：
$ 10(1+x)^2 = 12.1 $
解得：$ (1+x)^2=1.21 $
开方得$ 1+x=\pm1.1 $
即$ x_1=0.1=10\% $，$ x_2=-2.1 $（增长率不能为负，舍去）。
（2）10月11日的累计票房为：$ 10×(1+10\%)=11 $（亿元）
10月9日、10日、11日三天总票房为：$ 11-10=1 $（亿元）$ =100000000 $元
总售票数为：$ 100000000÷40=2500000 $（张）
【答案】
（1）10%；（2）2500000张
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，有理数运算
【点评】
本题结合生活热点考查增长率类应用题，解题关键是找准等量关系列方程，计算时注意单位统一，同时要结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C,小岛D位于AC中点处,岛上有一补给码头.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行(如图中DE方向),欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇,那么相遇时补给船航行了多少海里(精确到0.1 n mile)?
答案：118.4 n mile.
解析：
【分析】
解题前先梳理已知条件：△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=200n mile，是等腰直角三角形，D为AC中点。首先利用三角形中位线性质求出D到BC的垂直距离，及BC中点到B、C的长度；再结合行程中“时间相同，路程比等于速度比”的关系，设补给船航行路程为未知数，用未知数表示出Rt△DEF的各边长度，最后利用勾股定理列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的根。
【解析】
解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB⊥BC，D是AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=½AB=100 n mile，BF=FC=½BC=100 n mile。
设相遇时补给船航行了x n mile，即DE=x n mile，
∵军舰速度是补给船的2倍，行驶时间相同，
∴军舰航行的总路程为2x n mile，
∵军舰从A到B行驶了200 n mile，
∴BE=2x - AB=2x - 200，
∴EF=BF - BE=100 - (2x - 200)=300 - 2x。
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$DE^2 = DF^2 + EF^2$
代入得：$x^2 = 100^2 + (300 - 2x)^2$
展开整理得：$3x^2 - 1200x + 100000 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{1200±\sqrt{1200^2 - 4×3×100000}}{2×3} = 200±\frac{100\sqrt{6}}{3}$
∵相遇点E在BC上，
∴$2x ＜ 200+200=400$，即$x＜200$，
∴舍去$x=200+\frac{100\sqrt{6}}{3}$，
取$x=200-\frac{100\sqrt{6}}{3}≈200-81.6≈118.4$（n mile）。
【答案】
118.4 n mile
【知识点】
1. 勾股定理
2. 一元二次方程的应用
3. 三角形中位线性质
【点评】
本题是几何与代数结合的实际应用问题，需要先通过几何性质推导线段关系，再结合行程问题的路程规律列方程求解，解题时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
