【分析】
解这道题首先观察一元二次方程的形式，该方程不含常数项，最简便的方法是用因式分解法求解。解题思路是：先对等式左边的多项式提取公因式进行因式分解，再根据“两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解后得到方程的根，再匹配选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘法的性质，若两个整式的乘积为0，则其中至少一个整式的值为0，因此可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x=0$时，成立；当$x-2=0$时，解得$x=2$。
所以原方程的根为$x_1=0$，$x_2=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，选择合适的解法可以提高解题效率，本题用因式分解法比公式法、配方法更简便，解题时注意不要漏根。
【难度系数】
0.9

【分析】
拿到本题首先观察方程的结构，发现式子左侧两项均含有公因式$(x-2)$，因此优先选择因式分解法求解，无需展开整理为一元二次方程的一般形式，计算更简便。提取公因式后将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程进行变形可得：
$x(x-2)+(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$得：
$(x-2)(x+1)=0$
根据乘法的性质可得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
分别解得：$x_1=2$，$x_2=-1$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式法因式分解
【点评】
本题属于方程求解的基础题，考查学生观察式子结构选择简便解法的能力，采用因式分解法比直接展开计算更高效，解题时注意不要漏根。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式求解，解题思路如下：第一步，明确一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），从题干方程中对应提取二次项系数、一次项系数、常数项；第二步，将系数代入判别式公式$\Delta = B^2-4AC$计算表达式；第三步，结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，根据$\Delta＞0$、$\Delta=0$、$\Delta＜0$分别对应两个不相等实数根、两个相等实数根、无实数根的规则，得出最终结论。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 + ax -1=0$，可知二次项系数为1，一次项系数为$a$，常数项为-1。
代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，得：
$\Delta = a^2 - 4×1×(-1) = a^2 + 4$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$a^2 ≥ 0$
∴ $\Delta = a^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$
根据判别式的性质，当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题是基础考查题，核心考点为一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是准确提取方程各项系数，结合平方的非负性判断判别式的符号即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题思路可以从两个方向入手：①整体代换：先根据已知条件找到$x^2-6x+q$和$(x-p)^2$的关系，直接代入待求方程求解，这种方法更简便；②系数对应：先将$(x-p)^2=7$展开，和原方程$x^2-6x+q=0$对比系数求出$p$、$q$的值，再代入待求方程配方得到结果。两种方法均符合配方法的应用逻辑，符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一（整体代换法）：
已知$x^2-6x+q=0$可化成$(x-p)^2=7$，将该式移项可得：$x^2-6x+q=(x-p)^2-7$。
将上式代入方程$x^2-6x+q=2$，得：
$(x-p)^2-7=2$
移项计算得：$(x-p)^2=9$。
方法二（系数对应法）：
先展开$(x-p)^2=7$，得$x^2-2px+p^2-7=0$。
该式与$x^2-6x+q=0$是同一个方程，对应系数相等：
一次项系数：$-2p=-6$，解得$p=3$；
常数项：$p^2-7=q$，代入$p=3$得$q=9-7=2$。
将$q=2$代入$x^2-6x+q=2$，得$x^2-6x+2=2$，整理为$x^2-6x=0$。
对左边配方：$x^2-6x+9=9$，即$(x-3)^2=9$，结合$p=3$，可得$(x-p)^2=9$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的性质，整体代换思想
【点评】
本题核心考查一元二次方程配方法的灵活应用，既可以通过系数计算逐步推导，也可以利用整体代换快速得出结果，能有效检验对配方法本质的理解和简便运算的思维能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时要抓住两个关键条件：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是x=0是方程的根，将根代入方程等式成立。我们先把x=0代入方程求出k的可能取值，再结合一元二次方程的定义排除不符合要求的取值，就能得到正确的k值。
【解析】
首先，因为方程$(k-1)x^2 + 3x + k^2 -1 =0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$k-1 ≠ 0$，解得$k ≠ 1$。
又因为x=0是方程的一个根，将$x=0$代入原方程，得：
$(k-1)×0^2 + 3×0 + k^2 -1 = 0$
化简得$k^2 -1 =0$，解得$k=1$或$k=-1$。
结合之前$k ≠ 1$的条件，舍去$k=1$，因此$k=-1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的概念
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程的二次项系数不为0”这一隐含条件，直接将x=0代入求出k=±1就误选A，因此读题时要注意抓住题干的所有限定条件，避免遗漏。
【难度系数】
0.7

【分析】
观察方程可发现代数式$x+y$在方程中重复出现，我们可以利用整体换元的思想，把$x+y$设为新的未知数$t$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解，这样能避免展开原式带来的复杂运算，简化计算过程。
【解析】
解：令$ t = x + y $，则原方程可转化为：
$ t^2 - 4t + 3 = 0 $
对该一元二次方程因式分解可得：
$ (t - 1)(t - 3) = 0 $
所以$ t - 1 = 0 $或$ t - 3 = 0 $
解得$ t_1 = 1 $，$ t_2 = 3 $
即$x+y$的值为1或3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查整体换元思想在解方程中的应用，将重复出现的代数式看作整体换元，可将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解，是代数运算中常用的简化技巧。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查完全平方式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，共和的平方、差的平方两种形式。先将给定二次三项式的二次项、常数项转化为平方项的形式，再对应中间项的系数关系，注意考虑正负两种情况，即可求出$m$的取值。
【解析】
完全平方式的标准形式为$a^2 \pm 2ab + b^2$。
对于二次三项式$2x^2 - mx + 3$：
1. 改写平方项：$2x^2=(\sqrt{2}x)^2$，$3=(\sqrt{3})^2$；
2. 根据完全平方式的中间项特征，一次项应为$\pm 2 × \sqrt{2}x × \sqrt{3} = \pm 2\sqrt{6}x$；
3. 对应原式的一次项可得：$-mx = \pm 2\sqrt{6}x$，约去$x$后得$-m=\pm2\sqrt{6}$，即$m=\pm2\sqrt{6}$。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式，二次根式运算
【点评】
本题是完全平方式的基础应用题，解题时需注意完全平方式包含和的平方、差的平方两种形式，切勿只考虑一种符号导致漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题可结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解，解题思路如下：首先，根据m是方程的根，代入方程可得到m²与m的等量关系，实现降次；其次，观察所求代数式的结构，将其拆分为含有m²-m和m+n的形式；最后，结合根与系数的关系求出两根之和m+n，整体代入计算即可得到结果，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 - x - 2026 = 0$的根
∴将x=m代入方程得：$m^2 - m - 2026 = 0$，即$m^2 - m = 2026$
又
∵m、n是方程$x^2 - x - 2026 = 0$的两根
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$m + n = -\frac{b}{a} = \frac{1}{1} = 1$
对所求代数式变形得：
$m^2 - 2m - n = (m^2 - m) - (m + n)$
将$m^2 - m = 2026$，$m + n = 1$代入得：
原式$= 2026 - 1 = 2025$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，解题核心是利用根的定义完成降次变形，再结合根与系数的关系整体代入计算，避免了求解根的具体值，有效简化了运算过程。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心前提：1. 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数a≠0；2. 一元二次方程有实数根的充要条件是判别式Δ≥0。先代入系数算出判别式，得到a和c需要满足的关系，再逐一验证每个选项是否一定满足该关系即可。
【解析】
∵ 方程是关于x的一元二次方程，
∴ a≠0。
一元二次方程有实数根的条件为判别式Δ≥0，
对于方程$ax^2 -4x +c=0$，Δ=$(-4)^2 -4ac=16-4ac$，
∴ 16-4ac≥0，化简得$ac≤4$。
逐一分析选项：
A. 当a＞0时，若c取值过大，例如a=1，c=5，此时ac=5＞4，Δ=16-20=-4＜0，方程无实数根，不符合要求；
B. 当a=0时，方程变为$-4x +c=0$，是一元一次方程，不符合“一元二次方程”的题干要求，排除；
C. 当c＞0时，若a取值过大，例如a=5，c=1，此时ac=5＞4，Δ=16-20=-4＜0，方程无实数根，不符合要求；
D. 当c=0时，$ac=0≤4$，Δ=16-0=16≥0，一定满足有实数根的条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程定义 2. 根的判别式应用
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是不要遗漏“一元二次方程”隐含的a≠0的限制条件，再结合判别式的要求逐一排除错误选项即可，举反例是判断这类“一定成立”类选择题的常用方法。
【难度系数】
0.8

【分析】
这是典型的传染类一元二次方程应用题，解题思路分两步：①先求每轮的单人传染速率：设每轮传染中平均1人传染x个人，1个初始患者经过1轮传染后总患病人数为（1+x），经过2轮传染后总患病人数为$(1+x)^2$，结合两轮后共121人感染的条件列方程求解x；②再计算3人患病第一轮后的总人数：3个初始患者经过1轮传染后，总人数为$3×(1+x)$，代入x的值即可得到结果。
【解析】
解：设每轮传染中平均1个人传染x个人。
根据1人患流感两轮后共121人感染的条件，列方程得：
$(1+x)^2=121$
解得$x_1=10$，$x_2=-12$（传染人数不能为负，不符合实际意义，舍去）
即每轮平均1人传染10个人。
若3人患流感，第一轮传染后患流感的总人数为：
$3×(1+10)=33$（人）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的应用
2.传播类问题模型
【点评】
本题核心是理清传染过程中每轮前后的患病人数关系，求解时注意结合实际意义舍去不合逻辑的负根，计算最终人数时不要遗漏初始患病的人数。
【难度系数】
0.7

【分析】
要将给定方程整理为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题思路如下：第一步利用多项式乘多项式法则展开方程左边的乘积，第二步将方程右边的项全部移到左边（移项注意变号），第三步合并同类项，最终化为右边为0的标准形式即可。
【解析】
1. 展开方程左边的乘积：
根据多项式乘多项式法则，$(2x+1)(x-2)=2x^2 - 4x + x - 2 = 2x^2 - 3x - 2$
2. 替换原方程左边得：
$2x^2 - 3x - 2 = 5 + 3x$
3. 移项，将右侧所有项移到左侧，各项变号：
$2x^2 - 3x - 2 - 5 - 3x = 0$
4. 合并同类项：
二次项保留$2x^2$，一次项合并$-3x-3x=-6x$，常数项合并$-2-5=-7$，最终得$2x^2 - 6x - 7 = 0$
【答案】
$2x^2-6x-7=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式乘法运算
3. 合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查一元二次方程的化简规则，解题时只要保证多项式展开运算准确、移项时牢记变号、合并同类项不漏项，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题时不需要先求解方程的具体根，直接利用韦达定理公式计算即可。首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其两根之和的公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，解题步骤为：第一步从给定方程中找出对应的二次项系数$a$和一次项系数$b$，第二步代入公式计算，计算时要注意系数的符号，避免出错。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
已知方程$3x^2 -4x -4=0$，可得$a=3$，$b=-4$。
代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{3}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础考查题，重点是对韦达定理的记忆和运用，只要能准确找到方程各项的系数，注意一次项系数的符号，就能轻松得出结果，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9