【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。所以第一步将x=1代入原方程，求出a+b的值；再观察所求代数式2a+2b可变形为2(a+b)，将a+b的值整体代入即可计算出结果。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$ax^2+bx-2=0$的根，
∴将x=1代入方程得：$a×1^2 + b×1 - 2 = 0$，
整理得：$a + b = 2$，
∴$2a + 2b = 2(a + b) = 2×2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程的根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的应用，解题时运用整体代入的思想可简化计算，避免分别求a、b的值的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断一元二次方程的固定根，首先回忆一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知条件给出$a+b+c=0$，我们可以尝试将不同的$x$值代入方程左边，看哪个值代入后能得到$a+b+c$的形式，即可对应得到固定根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，若$x=m$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则代入后满足$am^2+bm+c=0$。
将$x=1$代入方程左边得：
$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$
已知$a+b+c=0$，因此代入后左边等于0，与方程右边相等，满足根的定义。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$必有一个根是$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代入法求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查对根的定义的理解与应用，不需要复杂计算，通过对比已知条件和代入后的代数式即可快速求解，掌握根的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的情况与判别式Δ的对应关系：当方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。接下来先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数、常数项，代入Δ=0的公式得到关于b的方程，求解该方程即可得到b的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^2 + bx + b - 1 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=b-1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，代入得：
$b^2 - 4×1×(b-1)=0$
整理得：
$b^2-4b+4=0$
由完全平方公式得：
$(b-2)^2=0$
解得：$b=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查根的判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，计算难度较低，掌握判别式的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题分为三步：第一步，利用方程根的定义，将已知根x=3代入原方程，求出参数m的值；第二步，将m代入原方程，求解得到方程的两个实数根；第三步，结合等腰三角形边长的特点，分两种情况讨论腰长和底边长，同时验证是否满足三角形三边关系，最后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
1. 求参数m：
∵ 3是方程$x^2 - (m + 1)x + 2m = 0$的实数根，
∴ 将x=3代入方程得：$3^2 - 3(m+1) + 2m = 0$，
计算得：$9 - 3m - 3 + 2m = 0$，即$6 - m = 0$，解得$m=6$。
2. 解一元二次方程：
将$m=6$代入原方程，得$x^2 - 7x + 12 = 0$，
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$，
∴ 方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=4$。
3. 结合等腰三角形性质计算周长：
∵ 方程的两个根是等腰△ABC的两条边长，分两种情况讨论：
① 若腰长为3，底边长为4，此时三边长为3、3、4，满足$3+3＞4$，符合三角形三边关系，周长为$3+3+4=10$；
② 若腰长为4，底边长为3，此时三边长为4、4、3，满足$3+4＞4$，符合三角形三边关系，周长为$4+4+3=11$。
综上，△ABC的周长为10或11。
【答案】
10或11
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元二次方程、等腰三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题，解题时需要注意分类讨论等腰三角形的腰和底，同时必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解一元二次方程可根据方程结构优先选择简便方法：(1)方程左边可提取公因式，选因式分解法；(2)先展开整理为一般式，再用十字相乘法因式分解求解；(3)整理为一般式后判别式非完全平方数，选公式法求解；(4)方程左边符合平方差公式结构，用平方差因式分解法求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x = 0$提取公因式，得$x(x-2)=0$，
即$x=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 展开左边得$x^2 - 3x -10 = 8$，移项整理为$x^2 - 3x -18=0$，
十字相乘因式分解得$(x-6)(x+3)=0$，
即$x-6=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-3$。
(3) 移项得一般式$x^2 -3x -1=0$，其中$a=1,b=-3,c=-1$，
判别式$\Delta = (-3)^2 -4×1×(-1)=13＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(4) 原方程变形为$[5(2x-5)]^2 - [3(x+4)]^2=0$，
平方差因式分解得$[5(2x-5)+3(x+4)][5(2x-5)-3(x+4)]=0$，
化简得$(13x-13)(7x-37)=0$，
即$13x-13=0$或$7x-37=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{37}{7}$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=2$；(2) $x_1=6,x_2=-3$；(3) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；(4) $x_1=1,x_2=\frac{37}{7}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活应用，根据方程特征选择合适的解法可简化计算，降低出错概率，是一元二次方程求解的基础题型。
【难度系数】
0.75

【分析】
要解决本题，首先回忆一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的对应关系：当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。首先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入Δ=b²-4ac=0得到关于m的方程，最后解方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^2 + (2m - 1)x + 4 = 0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2m-1$，常数项$c=4$，
代入得：$(2m-1)^2 - 4×1×4 = 0$，
整理得：$(2m-1)^2 = 16$，
开平方得：$2m-1 = \pm4$，
当$2m-1=4$时，$2m=5$，解得$m=\frac{5}{2}$；
当$2m-1=-4$时，$2m=-3$，解得$m=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$m=\frac{5}{2}$或$m=-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需准确识别方程各项系数，代入后正确计算即可，注意开平方时不要漏解。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要证明任意实数m下方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。首先将原方程整理为一般形式，计算判别式，再结合绝对值的非负性判断Δ恒大于0即可完成证明。
(2) 已知方程的一个根是1，根据方程根的定义，将x=1代入原方程可求出|m|的值，进而得到m的取值；再将|m|代入原方程，解一元二次方程即可得到另一个根，也可通过根与系数的关系快速求解另一个根。
【解析】
(1) 证明：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - 5x + 6 - |m| = 0$
其中$a=1$，$b=-5$，$c=6-|m|$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4×1×(6-|m|) = 25 - 24 + 4|m| = 1 + 4|m|$
∵ $|m|≥0$，
∴ $1+4|m|≥1＞0$，
∴ 对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：把$x=1$代入原方程，得：
$(1-3)(1-2)=|m|$
计算得$|m|=2$，
∴ $m=\pm2$。
把$|m|=2$代入原方程的一般式，得：
$x^2 -5x + 6 - 2 = 0$，即$x^2 -5x +4=0$，
因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$。
【答案】
(1) 对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2) $m$的值为$\pm2$，方程的另一个根是4。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、绝对值的性质、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问结合绝对值非负性判断判别式符号即可得证，第二问利用方程根的定义代入求参数，再解方程即可，解题逻辑清晰，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）已知x=-1是方程的根，可根据方程根的定义，将x=-1代入原方程，化简后得到三角形三边a、b、c的数量关系，即可判断三角形形状；
（2）已知一元二次方程有两个相等的实数根，可根据根的判别式Δ=0的性质，代入方程对应系数计算化简，得到三边的数量关系，再结合特殊三角形的判定定理判断形状。
【解析】
（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x=-1是方程的根，
∴将x=-1代入方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c)=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c)=0$
化简得：$a+c-2b+a-c=0$
合并同类项得：$2a-2b=0$，即$a=b$
∴△ABC是等腰三角形。
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=(2b)^2 - 4(a+c)(a - c)=0$
展开计算得：$4b^2 - 4(a^2 - c^2)=0$
两边同时除以4得：$b^2 - a^2 + c^2=0$
整理得：$a^2 = b^2 + c^2$
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形。
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，将一元二次方程的性质和特殊三角形的判定相结合，既考察方程相关基础知识点的应用，也考察几何中三角形形状的判定方法，解题时注意理清代数推导和几何结论的对应关系即可。
【难度系数】
0.8