【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的核心性质：第一，$a$的正负决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，据此先将4个函数分为开口向上、向下两组，对应图中上下两部分的图象；第二，$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大开口越窄（图象越陡），据此分别判断两组内函数对应的图象，即可得出最终对应顺序。
【解析】
解：根据二次函数$y=ax^2$的图象性质分析：
1. 判断开口方向：
当$a＞0$时抛物线开口向上，因此$y=\frac{1}{3}x^2$、$y=2x^2$对应图象①②；
当$a＜0$时抛物线开口向下，因此$y=-\frac{1}{3}x^2$、$y=-2x^2$对应图象③④。
2. 判断开口宽窄：
$|a|$越大，抛物线开口越窄：
开口向上的两个函数中，$|2|＞\left|\frac{1}{3}\right|$，因此$y=2x^2$开口更窄，对应更靠近$y$轴的①，$y=\frac{1}{3}x^2$对应②；
开口向下的两个函数中，$|-2|＞\left|-\frac{1}{3}\right|$，因此$y=-2x^2$开口更窄，对应更靠近$y$轴的③，$y=-\frac{1}{3}x^2$对应④。
因此四个函数依次对应图象②①④③。
【答案】
B
【知识点】
$y=ax^2$的图象性质；二次函数开口方向判断；二次函数开口宽窄判断
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心考查$a$的符号、绝对值大小对$y=ax^2$图象的影响，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先确定解析式中$a$的取值，再结合$y=ax^2$的固有性质逐一分析每个问题即可：首先由$a$的正负判断开口方向，再回忆$y=ax^2$的对称轴、顶点坐标，接着结合开口方向和对称轴判断增减性，最后代入求值和分析最值。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{3}{2}x^2$，其中$a=-\dfrac{3}{2}＜0$：
(1) 当$a＜0$时，二次函数开口向下，故开口方向向下；
(2) 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴均为y轴，即直线$x=0$；
(3) 形如$y=ax^2$的二次函数，顶点均为坐标原点，即$(0,0)$；
(4) 因为函数开口向下，对称轴为$x=0$，所以在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小；
(5) 令$y=0$，则$-\dfrac{3}{2}x^2=0$，解得$x=0$，即当$x=0$时，$y=0$；
(6) 因为函数开口向下，所以函数有最大值，在顶点处取得最值，即当$x=0$时，$y$的最大值是$0$。
【答案】
(1)向下；(2) y轴(或直线x=0)；(3) (0,0)；(4) 减小；(5) =0；(6) =0；大；0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的识记与应用，熟练掌握$a$的取值对函数图象和性质的影响，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
解决本题有两种清晰的思考路径：第一种是利用坐标对称规律，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数，所求抛物线上任意一点的对称点都在原抛物线上，代入原解析式整理即可得结果；第二种是利用二次函数$y=ax^2$的性质，$|a|$决定抛物线开口大小，$a$的符号决定开口方向，关于x轴对称的抛物线开口大小不变、方向相反，因此$a$变为原数的相反数，顶点仍在原点，可直接写出解析式。
【解析】
方法1：设所求抛物线上任意一点坐标为$(x,y)$，则该点关于x轴对称的点$(x,-y)$在原抛物线$y=8x^2$上，将$(x,-y)$代入原解析式得：
$-y=8x^2$
整理得$y=-8x^2$。
方法2：原抛物线$y=8x^2$二次项系数为8，开口向上，顶点为原点。关于x轴对称的抛物线开口大小不变、方向向下，顶点仍为原点，因此二次项系数为$-8$，即所求解析式为$y=-8x^2$。
【答案】
$y=-8x^2$
【知识点】
x轴对称坐标规律；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数图象的轴对称变换，两种解题方法都紧扣基础性质，属于基础题型，熟练掌握坐标对称规律或二次项系数的几何意义都能快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时需先明确不同类型函数增减性的判断方法，再逐个分析所给函数，注意反比例函数、二次函数的增减性需结合自变量的取值范围判断，不能仅依据函数表达式直接下结论。首先回忆对应性质：1. 一次函数$y=kx+b(k≠0)$，$k＞0$时$y$随$x$增大而增大，$k＜0$时$y$随$x$增大而减小；2. 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，$k＞0$时在每个象限内$y$随$x$增大而减小，$k＜0$时在每个象限内$y$随$x$增大而增大；3. 二次函数$y=ax^2(a≠0)$，$a＞0$时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，$a＜0$时相反。接下来依次判断4个函数即可。
【解析】
逐个分析每个函数的增减性：
1. 对于①$y=2x$：属于正比例函数，比例系数$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，不符合要求；
2. 对于②$y=-2x+1$：属于一次函数，比例系数$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，符合要求；
3. 对于③$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$：属于反比例函数，比例系数$k=2＞0$，且自变量取值范围为$x＞0$（第一象限），因此在该范围内$y$随$x$的增大而减小，符合要求；
4. 对于④$y=x^2(x＜-1)$：属于二次函数，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为$y$轴（$x=0$），自变量取值范围$x＜-1$在对称轴左侧，因此在该范围内$y$随$x$的增大而减小，符合要求。
综上，$y$随$x$的增大而减小的函数为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
一次函数的增减性；反比例函数的增减性；二次函数的增减性
【点评】
本题考查不同类型初等函数的增减性判断，解题的易错点是忽略反比例函数、二次函数增减性的适用范围，需结合自变量的取值区间分析，避免直接根据函数表达式笼统判断导致出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察到抛物线$y=2x^2$关于y轴对称，正方形ABCD的边AB平行于x轴、CD在x轴上，因此A、B两点关于y轴对称。解题时可先设出点A的坐标，再利用正方形边长相等的性质建立等量关系，最后结合点在抛物线上满足函数解析式的条件列方程求解，即可得到点A的坐标。
【解析】
解：
∵抛物线$y=2x^2$的对称轴为y轴，正方形ABCD中$AB// CD$，且CD在x轴上，
∴点A、B关于y轴对称，且正方形的邻边$AD=CD$。
设第一象限内点A的坐标为$(a,2a^2)$（$a＞0$），
则AD的长度为点A的纵坐标$2a^2$，CD的长度为$2a$（A、B关于y轴对称，故$OC=OD=a$，$CD=OC+OD=2a$）。
根据正方形边长相等可得$AD=CD$，即：
$2a^2=2a$
整理得$a^2-a=0$，因式分解得$a(a-1)=0$，
解得$a=1$或$a=0$，其中$a=0$时点A与原点重合，不符合正方形的条件，故舍去。
将$a=1$代入点A坐标得$2a^2=2×1^2=2$，因此点A坐标为$(1,2)$。
【答案】
$\boldsymbol{A(1,2)}$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；正方形的性质；坐标与图形
【点评】
本题是二次函数与平面几何结合的基础综合题，解题核心是利用二次函数的对称性简化点坐标的设元，再结合正方形的性质建立方程求解，能有效训练数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）第一问结合二次函数$y=ax^2$的图象性质推导：第四象限内的点纵坐标为负，又因为$x^2$恒为非负数，要使函数值能取到负数，必须二次项系数小于0，据此列不等式即可求出$a$的取值范围。
（2）第二问用待定系数法求解，将已知点的横、纵坐标代入函数解析式，解出$a$的值后回代即可得到二次函数解析式。
（3）第三问根据二次项系数的符号，从开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值等$y=ax^2$的固有性质角度描述即可。
【解析】
（1）
∵ 第四象限内的点满足纵坐标$y＜0$，且对任意实数$x$都有$x^2≥0$
要使二次函数$y=(a+5)x^2$的图象经过第四象限的点，需二次项系数$a+5＜0$
解得：$a＜-5$
（2）把点$(-1,-4)$代入$y=(a+5)x^2$中，可得：
$-4=(a+5)×(-1)^2$
即$a+5=-4$，解得$a=-9$
∴ 二次函数的解析式为$y=-4x^2$
（3）此二次函数性质可从以下角度描述：开口向下；对称轴为y轴；顶点为原点$(0,0)$；当$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，当$x＞0$时$y$随$x$增大而减小；函数最大值为0，无最小值等，描述合理即可。
【答案】
(1) $a＜-5$；(2) $y=-4x^2$；(3) 略
【知识点】
二次函数y=ax²的性质，待定系数法求解析式，一元一次不等式解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察$y=ax^2$的图象性质和待定系数法的应用，逻辑推导难度低，掌握核心基础知识点即可顺利作答。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 已知点在函数图象上时，点的坐标满足对应函数的解析式，因此直接将点F的坐标代入直线解析式，即可求出b的值。
(2) 要求两个交点横坐标的乘积，A、B是直线和抛物线的公共点，坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立两个函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，x₁、x₂就是该方程的两个根，再利用一元二次方程根与系数的关系即可求出x₁x₂的值。
【解析】
(1)
∵直线$y=kx+b$经过点$F(0,-1)$，
将$x=0$，$y=-1$代入直线解析式得：
$-1=k×0 + b$，
解得$b=-1$。
(2) 由(1)得直线解析式为$y=kx-1$，
联立直线与抛物线的解析式：
$\begin{cases} y=kx-1\\ y=-\dfrac{1}{4}x^2 \end{cases}$
消去y得：$kx-1=-\dfrac{1}{4}x^2$，
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2+4kx-4=0$，
根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\dfrac{c}{a}$，
该方程中$a=1$，$c=-4$，因此$x_1x_2=\dfrac{-4}{1}=-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b=-1}$；
(2) $\boldsymbol{x_1x_2=-4}$
【知识点】
一次函数解析式求解；函数交点问题；根与系数的关系
【点评】
本题是函数综合类基础题，核心考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，以及联立函数解析式转化为一元二次方程解决交点问题的方法，是后续学习复杂二次函数综合题的基础，掌握根与系数的关系可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8