【分析】
首先观察所给抛物线的解析式属于$y=ax^2+k$的形式，按照这类二次函数的性质逐步推导即可：①根据二次项系数$a$的正负判断开口方向；②$y=ax^2+k$的对称轴固定为y轴，顶点坐标为$(0,k)$；③结合开口方向判断函数有最大值还是最小值，最值就是顶点的纵坐标；④根据二次函数平移“上加下减常数项”的规律，判断平移的方向和单位长度。
【解析】
对于抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2 -5$：
1. 开口方向：二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此开口向下；
2. 对称轴：该函数为$y=ax^2+k$的形式，对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
3. 顶点坐标：$y=ax^2+k$的顶点为$(0,k)$，此处$k=-5$，因此顶点坐标是$(0,-5)$；
4. 最值：因抛物线开口向下，顶点为图象最高点，故当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为$-5$；
5. 平移规律：对比$y=-\dfrac{1}{4}x^2$和$y=-\dfrac{1}{4}x^2 -5$，根据“上加下减”的平移规则，它是由$y=-\dfrac{1}{4}x^2$向下平移5个单位长度得到的。
【答案】
向下；y轴；(0,-5)；0；大；-5；下；5
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数图象平移规律；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题，是对核心基础知识点的直接考查，熟练掌握$y=ax^2+k$形式二次函数的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先明确该抛物线属于二次函数$y=ax^2+k$的形式，第一步先判断二次项系数$a$的正负，确定抛物线的开口方向；第二步找到抛物线的对称轴和顶点坐标，结合开口方向判断最值情况；第三步根据开口方向和对称轴，分$x＜0$和$x＞0$两种区间分析函数的增减性即可。
【解析】
对于抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 + 2$：
1. 确定参数与开口方向：二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 确定对称轴与顶点：该函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,2)$；
3. 判断最值：因为抛物线开口向上，顶点处$y$取最小值，即$x=0$时，$y$有最小值，最小值为$2$；
4. 分析增减性：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
0；小；2；减小；增大
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标与最值、增减性的对应规律，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先回忆二次函数中二次项系数a的作用：a决定抛物线的开口方向和形状大小，当两个抛物线形状相同时，二次项系数的绝对值相等；开口方向相反时，二次项系数符号相反。先据此求出a的值，再结合顶点坐标的规律求出c的值，即可得到函数解析式。
【解析】
1. 求a的值：
已知抛物线$y=ax^2+c$与$y=-3x^2$形状相同、开口方向相反，因此两个函数的二次项系数绝对值相等、符号相反，即$a = -(-3) = 3$。
2. 求c的值：
对于抛物线$y=ax^2+c$，其顶点坐标为$(0,c)$，题目给出顶点坐标是$(0,2)$，因此$c=2$。
3. 代入a、c的值，可得抛物线解析式为$y=3x^2+2$。
【答案】
$y=3x^2+2$
【知识点】
二次函数系数的意义；二次函数顶点坐标；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心是掌握二次项系数a对抛物线开口和形状的影响，以及顶点坐标与解析式中常数项的对应关系，熟练掌握相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
要比较$y_1、y_2、y_3$的大小，有两种常用思路：一是直接将三个点的横坐标代入函数解析式，分别计算出对应的函数值再比较大小；二是利用二次函数的性质判断：首先确定该二次函数的开口方向和对称轴，该函数$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，因此只需比较三个点横坐标的绝对值大小即可得到函数值的大小关系。
【解析】
方法一：代入计算法
将点$A(1,y_1)$代入函数$y=-\frac{1}{2}x^2-4$，得：
$y_1=-\frac{1}{2}×1^2 -4 = -0.5 -4 = -4.5$
将点$B(-2,y_2)$代入函数，得：
$y_2=-\frac{1}{2}×(-2)^2 -4 = -\frac{1}{2}×4 -4 = -2 -4 = -6$
将点$C(-\sqrt{2},y_3)$代入函数，得：
$y_3=-\frac{1}{2}×(-\sqrt{2})^2 -4 = -\frac{1}{2}×2 -4 = -1 -4 = -5$
比较三个函数值：$-6 ＜ -5 ＜ -4.5$，因此$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：性质判断法
函数$y=-\frac{1}{2}x^2-4$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴），开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
三个点横坐标到对称轴$x=0$的距离分别为：
$|1-0|=1$，$|-2-0|=2$，$|-\sqrt{2} -0|=\sqrt{2}≈1.414$
距离大小关系为$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$，因此函数值大小关系为$y_1＞y_3＞y_2$，即$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_3＜y_1$
【知识点】
二次函数的图象性质、二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的相关性质应用，解题时既可以直接代入计算函数值比较，也可以结合抛物线的开口方向、对称轴，通过比较点到对称轴的距离快速得出结果，可灵活选择解题方法。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）求解二次函数与坐标轴的交点坐标，需结合坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入函数解析式求解对应未知量，即可得到点A、B的坐标。
（2）△AOB的两条边OA、OB分别在x轴、y轴上，故△AOB是直角三角形，直角顶点为原点O，面积等于两条直角边OA、OB长度乘积的一半，先根据点A、B的坐标得到OA、OB的长度，代入面积公式计算即可。
【解析】
（1）求点A的坐标：
∵点A是二次函数图象与x轴的交点，x轴上的点纵坐标$y=0$，
∴将$y=0$代入$y=(x-2)^2$，得$0=(x-2)^2$，解得$x=2$，
∴点A的坐标为$(2,0)$。
求点B的坐标：
∵点B是二次函数图象与y轴的交点，y轴上的点横坐标$x=0$，
∴将$x=0$代入$y=(x-2)^2$，得$y=(0-2)^2=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
（2）由原点$O(0,0)$、$A(2,0)$、$B(0,4)$可知：
$OA=2$，$OB=4$，且$∠AOB=90°$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × 2 × 4 =4$。
【答案】
（1）$A(2,0)$，$B(0,4)$；
（2）$4$
【知识点】
1. 坐标轴上点的坐标特征
2. 二次函数与坐标轴交点的求解
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，考查核心基础知识的应用，解题的关键是掌握坐标轴上点的坐标特征，能正确求出二次函数与坐标轴的交点，再结合直角三角形面积公式计算即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
(1) 先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再结合△AOP的面积求出点P的纵坐标，最后将纵坐标代入直线解析式求出横坐标，即可得到P点坐标；(2) 把求得的P点坐标代入二次函数$y=ax^2$，求解参数$a$即可得到二次函数解析式；(3) 按照二次函数沿y轴平移“上加下减”的规律设出平移后的解析式，代入A点坐标求解平移参数，即可判断是否存在符合要求的平移方式。
【解析】
(1) 设直线$l$的解析式为$y=kx+b$，将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=4\end{cases}$，即直线$l$的解析式为$y=-x+4$。
已知$△ AOP$的面积为4，$OA=4$，由三角形面积公式$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× y_P$，代入得：
$\frac{1}{2}×4× y_P=4$，解得$y_P=2$。
将$y=2$代入$y=-x+4$，得$2=-x+4$，解得$x=2$，因P在第一象限，故$P(2,2)$。
(2) 将$P(2,2)$代入$y=ax^2$得：$2=a×2^2$，即$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$，故二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$。
(3) 设抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$沿y轴平移后的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2+m$（$m＞0$为向上平移，$m＜0$为向下平移）。
将$A(4,0)$代入平移后的解析式得：$0=\frac{1}{2}×4^2+m$，解得$m=-8$。
即抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$沿y轴向下平移8个单位长度后经过点A，故能实现该平移。
【答案】
(1) $P(2,2)$；
(2) $y=\frac{1}{2}x^2$；
(3) 能，抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$沿$y$轴向下平移8个单位长度后经过点A。
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数解析式求解；二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础综合题，结合了一次函数、三角形面积、函数平移多个考点，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及函数图象平移的规律。
【难度系数】
0.7