【分析】
本题考查二次函数一般式转化为顶点式，解题核心是运用配方法凑完全平方式。思考步骤如下：首先明确目标形式为$y=a(x-h)^2+k$，本题二次项系数$a=1$，只需对含$x$的项$x^2-2x$配方：取一次项系数$-2$的一半为$-1$，其平方为$1$，因此将原式的常数项拆分为$1+3$，即可凑出完全平方，进而整理为顶点式后匹配选项。
【解析】
对二次函数$y=x^2-2x+4$进行配方：
第一步，拆分常数项凑完全平方：
$y=x^2-2x+1+3$
第二步，将前三项整理为完全平方式：
$y=(x-1)^2+3$
对比选项可知B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
配方法；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数解析式变形的基础题型，核心考查配方法的规范使用，掌握配方法的操作步骤是解题的关键，该知识点是后续学习二次函数图象与性质的必备基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题给出二次函数的顶点式，以及函数图象上的两个点坐标，解题时可先将两个点代入函数解析式，通过两式相减消去参数k，得到a与h的数量关系，再将各选项中的h值代入关系式，判断a的正负即可选出正确选项。
【解析】
将x=1，y=1代入$y=a(x-h)^2+k$得：
$1=a(1-h)^2 + k$ ①
将x=8，y=8代入$y=a(x-h)^2+k$得：
$8=a(8-h)^2 + k$ ②
用②式减①式消去k，可得：
$7=a[(8-h)^2 - (1-h)^2]$
利用平方差公式化简右边：
$(8-h)^2 - (1-h)^2 = [(8-h)-(1-h)][(8-h)+(1-h)] = 7(9-2h)$
代入上式得：
$7=a × 7(9-2h)$
两边同时除以7，整理得：
$a=\frac{1}{9-2h}$
接下来逐一判断选项：
A. 若$h=4$，则$a=\frac{1}{9-2×4}=1＞0$，A错误；
B. 若$h=5$，则$a=\frac{1}{9-2×5}=-1＜0$，B错误；
C. 若$h=6$，则$a=\frac{1}{9-2×6}=-\frac{1}{3}＜0$，C正确；
D. 若$h=7$，则$a=\frac{1}{9-2×7}=-\frac{1}{5}＜0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 代数式正负判断
【点评】
本题核心是利用消元思想消去无关参数k，得到a与h的直接关系，再代入数值判断即可，解题思路清晰，重点考查对二次函数顶点式的掌握和基本代数运算能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是一次函数与二次函数的图象共存判断问题，解题核心是利用两个函数中相同参数a、b的符号一致性逐一排除错误选项：①先根据二次函数开口方向确定a的符号，再对应判断一次函数的斜率（增减性）是否匹配，排除a符号矛盾的选项；②a符号一致的选项，再根据一次函数的y轴截距确定b的符号，结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$判断对称轴位置是否匹配，最终确定正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 分析选项A：二次函数图象开口向下，可得$a＜0$；但一次函数图象从左下向右上倾斜（y随x增大而增大），说明斜率$a＞0$，二者a的符号矛盾，排除A。
2. 分析选项B：二次函数图象开口向上，可得$a＞0$；一次函数图象从左下向右上倾斜，斜率$a＞0$，a符号一致。再看二次函数对称轴在y轴右侧，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$，可得$b＜0$；但一次函数与y轴交于正半轴，说明$x=0$时$y=b＞0$，二者b的符号矛盾，排除B。
3. 分析选项C：二次函数图象开口向下，可得$a＜0$；一次函数图象从左上向右下倾斜（y随x增大而减小），斜率$a＜0$，a符号一致。一次函数与y轴交于负半轴，说明$b＜0$；代入二次函数对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}$，$a＜0$、$b＜0$，因此$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧，与图象一致，符合要求。
4. 分析选项D：二次函数图象开口向下，可得$a＜0$；一次函数图象从左上向右下倾斜，斜率$a＜0$，a符号一致。一次函数与y轴交于正半轴，说明$b＞0$；代入对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴应在y轴右侧，但图象中二次函数对称轴在y轴左侧，矛盾，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类的基础典型题，解题关键是抓住两个函数中共有的参数，结合函数图象与系数的对应关系判断参数符号是否统一，不需要求解具体数值，即可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，需分两步思考：首先根据二次函数的定义确定m的可能取值，二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0；再结合“函数有最小值”的条件筛选符合要求的m值，二次函数有最小值说明抛物线开口向上，即二次项系数大于0，据此排除不符合的取值即可得到结果。
【解析】
解：
∵$y=mx^{m^2 -1}+3x+(m-4)$是二次函数
∴满足二次函数定义的条件：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 2 \\ m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 -1=2$，得$m^2=3$，即$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$
又
∵二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，二次项系数$m＞0$
∴$m=-\sqrt{3}$不符合要求，需舍去
综上，m的值为$\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的最值性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题时要注意两个易错点：一是不要遗漏二次项系数不为0的隐含要求，二是要根据最值的存在情况判断二次项系数的正负，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律，即“左加右减，上加下减”：其中左右平移是对自变量$x$进行操作，向左平移几个单位，就给$x$加上几；向右平移几个单位，就给$x$减去几，注意替换$x$时要带括号。上下平移是对整个函数值进行操作，向上平移几个单位就整体加几，向下平移几个单位就整体减几。解题时先应用左右平移规则变换解析式，再应用上下平移规则即可得到最终结果。
【解析】
1. 原抛物线的解析式为$y=4x^2$，向左平移2个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+2$，得到平移后的解析式为：$y=4(x+2)^2$。
2. 再将上述抛物线向下平移3个单位长度，根据“上加下减”的规律，在解析式整体后减去3，最终得到的解析式为：$y=4(x+2)^2-3$。
【答案】
$y=4(x+2)^2-3$
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数解析式变换
【点评】
本题是二次函数平移的基础常考题，易错点为左右平移时忘记给自变量$x$加括号导致变形错误，牢记平移规则的适用对象即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：首先根据二次项系数判断开口方向，再确定对称轴，最后结合增减性的要求推导参数的取值范围。具体思路：①二次项系数3＞0，可知抛物线开口向上；②开口向上的抛物线，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，本题对称轴为直线$x=a$，即$x≥ a$时$y$随$x$增大而增大；③要满足$x＞2$时$y$随$x$增大而增大，说明$x＞2$的区间必须完全落在对称轴右侧，因此对称轴$x=a$要小于等于2，注意不要遗漏$a=2$的情况，此时$x＞2$刚好在对称轴右侧，也满足条件。
【解析】
解：对于二次函数$y=3(x-a)^2$：
1. 二次项系数$3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=a$，开口向上时，当$x≥ a$，$y$随$x$的增大而增大；
3. 已知当$x＞2$时$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞2$的区间包含在$x≥ a$的范围内，因此可得$a≤2$。
【答案】
$a≤2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是明确开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，易错点是容易遗漏$a=2$的等号情况，需结合区间边界验证取值是否符合要求。
【难度系数】
0.8

【分析】
要比较抛物线上三点的函数值大小，首先明确抛物线的开口方向与对称轴：该抛物线为顶点式，可直接得出a=-2＜0，开口向下，对称轴为直线x=1。对于开口向下的抛物线，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越小。因此只需计算三个点的横坐标到对称轴x=1的距离，比较距离大小即可判断y值的大小关系。
【解析】
解：
∵抛物线解析式为$y=-2(x-1)^2+m$
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$
∴抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越远，对应的函数值越小
计算各点到对称轴的距离：
点A(-1,y₁)到对称轴的距离：$|-1-1|=2$
点B(1,y₂)到对称轴的距离：$|1-1|=0$
点C(2,y₃)到对称轴的距离：$|2-1|=1$
∵$0＜1＜2$
∴$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
【答案】
$y_1＜y_3＜y_2$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础常考题型，解题关键是熟练掌握顶点式下二次函数开口方向、对称轴的判断方法，利用“同对称轴距离远近比较函数值”的技巧可避免代入计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）已知抛物线与$y=-\dfrac{1}{2}x^2$开口方向、形状相同，因此二次项系数$a$与已知抛物线相等，即$a=-\dfrac{1}{2}$；又已知抛物线顶点坐标，可直接代入二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），即可求出解析式。
（2）求抛物线与x轴交点A、B的坐标，只需令解析式中$y=0$，解一元二次方程得到x的值，结合点的位置即可得A、B坐标；求与y轴交点C的坐标，只需令解析式中$x=0$，计算对应的y值即可。
【解析】
（1）
∵ 所求抛物线与$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的开口方向、形状相同，
∴ 二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}$，
又
∵ 抛物线顶点坐标为$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{25}{8})$，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$，
得抛物线解析式为：$y=-\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{25}{8}$。
（2）①求A、B两点坐标：令$y=0$，则
$-\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{25}{8}=0$
移项得：$\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{25}{8}$
两边同乘2得：$(x+\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{25}{4}$
开方得：$x+\dfrac{1}{2}=\pm\dfrac{5}{2}$
解得：$x_1=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=2$，$x_2=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=-3$
结合图像可知A在x轴正半轴，B在x轴负半轴，因此$A(2,0)$，$B(-3,0)$。
②求C点坐标：令$x=0$，代入解析式得
$y=-\dfrac{1}{2}×(0+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{25}{8}=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{25}{8}=3$
因此$C(0,3)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{25}{8}$；
(2) $A(2,0),B(-3,0),C(0,3)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数与坐标轴交点求解；二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察顶点式的应用和函数与坐标轴交点的求解方法，解题关键是熟记二次函数顶点式的形式，掌握求函数与坐标轴交点的通用方法，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8