【分析】
(1) 抛物线与x轴有两个交点等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，因此计算判别式Δ＞0，解不等式即可得到k的取值范围。
(2) 要证明两个交点都在x轴负半轴，只需证明方程的两个根均为负数，结合(1)中k的范围，通过韦达定理判断两根之和小于0、两根之积大于0，即可得出结论。
(3) 因为A、B在x轴负半轴，所以OA=-x₁、OB=-x₂，将OA+OB和OA·OB用含k的式子表示后代入题中等量关系列方程求解，最后结合(1)中k的取值范围舍去不符合的解即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=x^2-(2k-3)x+k^2+1$与x轴有两个交点，
∴一元二次方程$x^2-(2k-3)x+k^2+1=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = [-(2k-3)]^2 - 4×1×(k^2+1) ＞ 0$，
计算得：$\Delta = 4k^2 -12k +9 -4k^2 -4 = -12k +5 ＞ 0$，
解得$k ＜ \frac{5}{12}$。
(2) 证明：设方程$x^2-(2k-3)x+k^2+1=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$，
由一元二次方程根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = 2k - 3$，$x_1x_2 = k^2 + 1$，
∵$k ＜ \frac{5}{12}$，
∴$2k - 3 ＜ 2×\frac{5}{12} - 3 = -\frac{13}{6}＜ 0$，即$x_1 + x_2 ＜ 0$，
又
∵$k^2 ≥ 0$，
∴$x_1x_2 = k^2 + 1 ≥1＞ 0$，
∴$x_1 ＜ 0$，$x_2 ＜ 0$，
∴点A和点B的横坐标均为负数，即点A和点B在x轴的负半轴上。
(3)
∵点A、B在x轴的负半轴上，
∴$OA = |x_1| = -x_1$，$OB = |x_2| = -x_2$，
∴$OA + OB = -x_1 -x_2 = -(x_1 + x_2) = -2k + 3$，
$OA · OB = (-x_1)·(-x_2) = x_1x_2 = k^2 + 1$，
代入$OA + OB = 2OA · OB - 3$得：
$-2k + 3 = 2(k^2 + 1) - 3$，
整理得：$k^2 + k - 2 = 0$，
解得$k_1 = -2$，$k_2 = 1$，
又
∵$k ＜ \frac{5}{12}$，
∴$k=1$不符合条件，舍去，
∴$k$的值为$-2$。
【答案】
(1) $k＜\frac{5}{12}$；
(2) 证明见解析；
(3) $k=-2$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的综合应用题，解题核心是将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，求解参数后要注意结合参数的取值范围检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时可根据二次函数图象的特征依次判断各参数的符号：第一步看开口方向确定a的符号；第二步结合对称轴位置（左同右异规律）和a的符号确定b的符号；第三步看抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，进而判断bc的正负；第四步看抛物线与x轴的交点个数确定判别式Δ的符号，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
1. 判断a的符号：抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$；
2. 判断b的符号：抛物线对称轴在y轴左侧，根据“左同右异”（对称轴在y轴左侧时a、b符号相同），已知$a＜0$，因此$b＜0$；
3. 判断c的符号及bc的正负：抛物线与y轴交于正半轴，因此常数项$c＞0$，结合$b＜0$可得$bc＜0$；
4. 判断Δ的符号：抛物线与x轴有2个不同的交点，说明对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有2个不相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$。
综上，$a＜0,bc＜0,\Delta＞0$，符合选项D的描述。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数图象的基础考题，核心是掌握二次函数图象的开口、对称轴、交点等特征和各项系数、判别式的对应关系，熟练运用规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8

【分析】
拿到这道题首先要回忆二次函数与一元二次方程的核心联系：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根。解题可以走两条思路：一是先把已知交点坐标代入抛物线解析式求出参数m，再代入一元二次方程求解；二是先计算抛物线的对称轴，结合抛物线与x轴交点的对称性判断根的情况，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一（代数计算法）：
∵ 抛物线$y=x^2 -2x + m$与x轴的交点为$(1,0)$
∴ 将$x=1,y=0$代入抛物线解析式得：
$1^2 - 2×1 + m = 0$
解得$m=1$
把$m=1$代入一元二次方程$x^2 -2x + m=0$得：
$x^2 -2x + 1=0$
因式分解得$(x-1)^2=0$
∴ 方程的解为$x_1=x_2=1$
方法二（函数性质法）：
对于抛物线$y=x^2 -2x + m$，$a=1,b=-2$
∴ 抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2×1}=1$
∵ 抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，已知交点$(1,0)$恰好落在对称轴上，说明抛物线与x轴只有1个公共点，对应一元二次方程有两个相等的实数根
∴ 方程的解为$x_1=x_2=1$
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数的对称轴
3.一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础常考题，既可以通过代数代入计算求解，也可以利用二次函数的对称性快速判断，核心是掌握二次函数图象与对应一元二次方程根的关联。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先题目明确给出图形是抛物线，说明该函数是二次函数，因此首先要满足二次项系数不为0，即$k≠0$；其次抛物线与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，因此根的判别式$\Delta≥0$，代入对应系数求解不等式后，结合二次项系数的限制条件，就能得到k的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 函数$y = kx^2 - x + 1$是抛物线，
$\therefore$ 该函数为二次函数，因此$k ≠ 0$。
$\because$ 抛物线与x轴有交点，
$\therefore$ 一元二次方程$kx^2 - x + 1 = 0$有实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
其中$a = k$，$b = -1$，$c = 1$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × k × 1 ≥ 0$
即$1 - 4k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{1}{4}$。
结合$k ≠ 0$的限制条件，最终得到k的取值范围。
【答案】
$k≤ \dfrac{1}{4}$且$k≠ 0$
【知识点】
二次函数定义，根的判别式，二次函数与x轴交点
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题的关键是抓住“抛物线”的隐含限定，即函数为二次函数，切勿遗漏二次项系数不为0的条件，仅通过判别式求解是本题的主要失分原因。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，抛物线与x轴的交点坐标满足抛物线解析式，因此把已知交点$(3,0)$代入解析式，就能得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；第二步，将求出的m代回原解析式，得到确定的二次函数表达式，令y=0解对应的一元二次方程，除已知根x=3外的另一个根就是另一个交点的横坐标，结合x轴上点纵坐标为0的特征，就能得到另一个交点坐标。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2 - 2(m+1)x + 2(m-1)$过点$(3,0)$
∴ 将$x=3,y=0$代入解析式得：
$0 = 3^2 - 2(m+1)×3 + 2(m-1)$
展开并整理：
$0 = 9 - 6m - 6 + 2m - 2$
$0 = 1 - 4m$
解得 $m=\dfrac{1}{4}$。
将$m=\dfrac{1}{4}$代入原解析式，化简得：
$y = x^2 - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2}$
令$y=0$，得方程：
$x^2 - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2}=0$
两边同乘2消去分母：
$2x^2 -5x -3=0$
因式分解得：
$(2x+1)(x-3)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-\dfrac{1}{2}$，因此另一个交点横坐标为$-\dfrac{1}{2}$，纵坐标为0。
【答案】
$m=\dfrac{1}{4}$，抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-\dfrac{1}{2},0)$
【知识点】
二次函数点坐标特征；二次函数与一元二次方程；一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，核心考察函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，掌握代入求参、解一元二次方程求交点的方法就能顺利解题，计算时注意系数运算的准确性。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过根的判别式Δ＞0建立不等式求解，先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式解不等式即可得到m的取值范围。
（2）一元二次方程的解是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，已知图象与x轴的一个交点为(1,0)，可先求出二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性求出另一个交点的横坐标，也可将已知交点代入函数求出m的值，再解方程得到结果。
【解析】
（1）
∵ 一元二次方程$x^2 + x - m = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=1$，$b=1$，$c=-m$，代入得：
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-m) = 1 + 4m ＞ 0$，
解得：$m ＞ -\dfrac{1}{4}$。
（2）二次函数$y=x^2 + x - m$的对称轴为$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1}{2×1} = -\dfrac{1}{2}$，
由图象可知二次函数与x轴的一个交点为$(1,0)$，设另一个交点的横坐标为$x_2$，
根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，可得：
$\dfrac{1 + x_2}{2} = -\dfrac{1}{2}$，
解得$x_2 = -2$，
因此一元二次方程$x^2 + x - m = 0$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
（也可将x=1代入方程求出m=2，再解方程$x^2+x-2=0$得到相同结果）
【答案】
（1）$m＞-\dfrac{1}{4}$；（2）$x_1=1,x_2=-2$
【知识点】
根的判别式，二次函数对称性，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题综合考察一元二次方程和二次函数的相关知识，解题时结合图象性质可简化运算，需熟练掌握根的判别式用法以及二次函数与对应一元二次方程的联系，体会数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.75