【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用待定系数法求a、b的值，因为二次函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，将两个已知点的坐标代入解析式，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的取值；第二步，将求得的a、b代入一元二次方程$ax^2+bx+16=0$，解该一元二次方程即可得到根。
【解析】
将点$(-2,40)$和$(6,-8)$代入二次函数$y=ax^2+bx+16$，可得方程组：
$\begin{cases}a×(-2)^2 + b×(-2) +16 = 40 \\a×6^2 + b×6 +16 = -8\end{cases}$
化简方程组：
第一个方程整理得$4a-2b=24$，即$2a - b =12$ ①
第二个方程整理得$36a+6b=-24$，即$6a + b = -4$ ②
①+②得：$8a=8$，解得$a=1$
将$a=1$代入①式，得$2×1 -b=12$，解得$b=-10$
把$a=1$、$b=-10$代入一元二次方程$ax^2+bx+16=0$，得：
$x^2 -10x +16=0$
因式分解得$(x-2)(x-8)=0$
即$x-2=0$或$x-8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=8$
【答案】
$x_1=2,x_2=8$
【知识点】
待定系数法求参数，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法的应用以及一元二次方程的解法，熟练掌握相关基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1)① 求二次函数对称轴可直接套用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，注意区分题目中的参数$a$和公式里的二次项系数，本题二次项系数为1，一次项系数为$-2a$，代入公式即可得到对称轴表达式。
② 顶点落在$x$轴上说明二次函数图象与$x$轴只有一个公共点，对应一元二次方程的判别式$\Delta=0$，代入计算即可求出$a$的值。
(2) 要证明$x_1^2+x_2^2＞2$，首先根据函数与$x$轴有两个不同交点可得判别式$\Delta＞0$，推出$a^2＞1$；再利用根与系数的关系将$x_1^2+x_2^2$转化为含$a$的代数式，结合$a^2＞1$的结论即可完成证明。
【解析】
(1)① 对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），对称轴为直线$x=-\frac{B}{2A}$。
本题中二次函数$y=x^2-2ax+1$的二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2×1}=a$，即对称轴为直线$x=a$。
② 若顶点落在$x$轴上，说明二次函数与$x$轴仅有一个交点，对应方程$x^2-2ax+1=0$的判别式$\Delta=0$。
计算得$\Delta=(-2a)^2-4×1×1=4a^2-4$，令$\Delta=0$，即$4a^2-4=0$，解得$a^2=1$，$\therefore a=\pm1$。
(2) 证明：$\because$ 函数图象与$x$轴有两个不同交点，
$\therefore$ 方程$x^2-2ax+1=0$的判别式$\Delta＞0$，即$4a^2-4＞0$，化简得$a^2＞1$。
$\because x_1$、$x_2$是方程的两个根，由根与系数的关系得$x_1+x_2=2a$，$x_1x_2=1$，
$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2a)^2-2×1=4a^2-2$。
$\because a^2＞1$，$\therefore 4a^2＞4$，$\therefore 4a^2-2＞4-2=2$，即$x_1^2 + x_2^2 ＞ 2$，得证。
【答案】
(1) ① 直线$x=a$；② $a=\pm1$；(2) 证明成立，$x_1^2 + x_2^2 ＞ 2$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题围绕二次函数与一元二次方程的关联设置考点，解题需熟练运用对称轴公式、判别式的几何意义、根与系数的关系对式子变形推导，是二次函数章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要确定m的取值范围，需结合二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系思考：抛物线与x轴有两个不同交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0，代入对应系数列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+2x+m-1$与$x$轴有两个不同的交点
∴ 对应的一元二次方程$x^2+2x+m-1=0$有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，其中$a=1$，$b=2$，$c=m-1$，可得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(m-1) ＞ 0$
计算化简：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
两边同时除以4得：$1 - (m-1) ＞ 0$
去括号：$1 - m + 1 ＞ 0$
整理得：$2 - m ＞ 0$
解得：$m ＜ 2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心是掌握二次函数图像与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记判别式与根的个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先明确已知条件：二次项系数a＞0，说明抛物线开口向上；顶点在x轴上方，结合开口方向可判断出整个抛物线都位于x轴上方，即抛物线与x轴没有交点。再回忆二次函数图像与x轴交点个数和判别式Δ=b²-4ac的对应关系，即可得出判别式的取值范围，选出正确选项。
【解析】
1. 由a＞0可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像（抛物线）开口向上；
2. 已知抛物线顶点在x轴上方，结合开口向上的特征，可得该抛物线全部位于x轴上方，与x轴没有公共点；
3. 根据二次函数与一元二次方程的关系，抛物线与x轴交点个数对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实根个数，判别式$\Delta=b^2-4ac$和交点个数的对应关系为：
$\Delta＞0$时，抛物线与x轴有2个交点；
$\Delta=0$时，抛物线与x轴有1个交点；
$\Delta＜0$时，抛物线与x轴没有交点。
本题中抛物线与x轴无交点，因此$b^2-4ac＜0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式
【点评】
本题属于基础考题，核心考查二次函数图像特征与根的判别式的对应关系，解题的突破口是结合开口方向和顶点位置判断抛物线与x轴的交点情况，熟练掌握判别式的几何意义即可快速解答。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的自变量$x$的值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，当$x$取两个相邻值时，若对应的$y$值由负变正（或由正变负），则两个$x$值之间必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的一个解，我们只需要找到$y$值正负切换对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$0$时对应的$x$的值。
观察表格中的数据：
当$x=6.18$时，$y=-0.01＜0$；
当$x=6.19$时，$y=0.02＞0$。
因为二次函数的图象是连续的曲线，所以在$6.18＜x＜6.19$这个范围内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是$6.18＜x＜6.19$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象性质
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化判断对应一元二次方程解的范围，解题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的联系，结合函数值的正负变化即可快速确定解的区间，属于基础题型。
【难度系数】
0.85

【分析】
要求该男生掷铅球的距离，实际是求铅球落地时对应的水平距离，此时铅球的高度y=0。因此只需将y=0代入给出的二次函数解析式，求解对应的一元二次方程，再根据水平距离为正数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
当铅球落地时，高度$y=0$，将$y=0$代入函数解析式$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$，得：
$-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}=0$
方程两边同时乘12消去分母，得：
$-x^2 + 8x + 20 = 0$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 8x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+2)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-2$
由于水平距离不能为负数，因此舍去$x=-2$，即该男生掷铅球的距离为10m。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类基础题，解题的核心是结合实际场景理解铅球落地时高度为0的隐含条件，求解方程后需注意舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.7