【分析】
本题可按以下逻辑逐步求解：1. 求抛物线与坐标轴交点时，x轴上的点纵坐标为0，因此令y=0解一元二次方程即可得到x轴交点的横坐标；y轴上的点横坐标为0，令x=0代入解析式即可算出y轴交点的纵坐标。2. 绘制二次函数图象时，先将一般式配方为顶点式，确定开口方向、顶点坐标，再结合已求出的交点和顶点的对称点，描点后用平滑曲线顺次连接即可得到图象。3. 结合图象求解方程和不等式时，一元二次方程的根对应抛物线与x轴交点的横坐标；函数值大于0对应图象在x轴上方区域的x取值范围，函数值小于0对应图象在x轴下方区域的x取值范围。
【解析】
(1) 求抛物线与x轴的交点坐标：
令$y=0$，即$x^2 -6x +8=0$，
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，
因此抛物线与x轴的交点坐标为$(2,0)$，$(4,0)$。
求抛物线与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入$y=x^2 -6x +8$，得$y=8$，
因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,8)$。
(2) 将抛物线解析式配方得：
$y=x^2 -6x +8=(x-3)^2 -1$，
可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(3,-1)$，
结合已得交点$(2,0)$、$(4,0)$、$(0,8)$，取对称点$(6,8)$，在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接，即可得到该抛物线的图象。
(3) ① 方程$x^2 -6x +8=0$的根对应抛物线与x轴交点的横坐标，因此根为$x_1=2$，$x_2=4$；
② 不等式$x^2 -6x +8＞0$对应抛物线在x轴上方部分的x的取值，因此解集为$x＜2$或$x＞4$；
③ 不等式$x^2 -6x +8＜0$对应抛物线在x轴下方部分的x的取值，因此解集为$2＜x＜4$。
【答案】
(1) 与x轴交点坐标为$(2,0)$、$(4,0)$，与y轴交点坐标为$(0,8)$；
(2) 图象绘制方法见解析；
(3) ① $x_1=2,x_2=4$；② $x＜2$或$x＞4$；③ $2＜x＜4$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求法；二次函数图象绘制；二次函数与方程不等式的联系
【点评】
本题属于二次函数相关的基础题型，核心考察数形结合思想的应用，通过二次函数图象可直观求解对应的一元二次方程和不等式，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题首先要明确一元二次方程和对应二次函数的关系：将已知方程$x^2 = bx - c$整理为$x^2 - bx + c = 0$，它的两个解就是二次函数$y = x^2 - bx + c$与x轴交点的横坐标。求对称轴有两种常用思路：思路1，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴横坐标是两个交点横坐标的平均值；思路2，利用韦达定理先求出参数$b$的值，再代入二次函数对称轴公式$x=\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
方法一：将已知一元二次方程变形得$x^2 - bx + c = 0$，已知方程的解为$x_1=-1,x_2=3$，因此二次函数$y = x^2 - bx + c$与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
因为二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以对称轴的横坐标为两个交点横坐标的平均数：
$x=\frac{-1+3}{2}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
方法二：对一元二次方程$x^2 - bx + c = 0$，由韦达定理可知两根之和$x_1+x_2 = b$，代入$x_1=-1,x_2=3$得$b=-1+3=2$。
二次函数$y = x^2 - bx + c$中$a=1$，对称轴公式为$x=\frac{b}{2a}$，代入$a=1,b=2$得：
$x=\frac{2}{2×1}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数对称轴计算；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的根和对应二次函数图象的关联，既可以通过图象对称性快速求解，也可以结合根与系数的关系计算参数后代入公式求解，解题方法灵活，掌握核心关联即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题围绕二次函数的基础性质展开考查，各小问解题思路如下：(1)求二次函数与x轴的交点，只需令y=0，解对应的一元二次方程，所得解即为交点的横坐标；(2)将一般式化为顶点式，使用配方法即可，顶点式中h、k对应顶点的横、纵坐标；(3)画抛物线大致图象，可先确定顶点、与x轴交点、与y轴交点等关键点，再用平滑曲线连接；(4)不等式大于0的解集对应抛物线在x轴上方部分的x取值范围，结合开口方向和与x轴的交点即可确定；(5)求指定区间内y的取值范围，先确定顶点处的最值，再比较区间端点的函数值，结合开口方向判断取值范围。
【解析】
(1) 令$y=0$，得$\frac{1}{2}x^2 -3x +\frac{5}{2}=0$，两边同乘2得$x^2-6x+5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=5$，故与x轴交点坐标为$(1,0)$，$(5,0)$。
(2) 对函数配方：
$y=\frac{1}{2}x^2 -3x +\frac{5}{2}$
$=\frac{1}{2}(x^2-6x)+\frac{5}{2}$
$=\frac{1}{2}(x^2-6x+9-9)+\frac{5}{2}$
$=\frac{1}{2}(x-3)^2 - \frac{9}{2}+\frac{5}{2}$
$=\frac{1}{2}(x-3)^2 -2$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得该函数顶点坐标为$(3,-2)$。
(3) 先标注关键点：顶点$(3,-2)$、与x轴交点$(1,0)$和$(5,0)$、与y轴交点$(0,\frac{5}{2})$，再用平滑曲线顺次连接即可，图象略。
(4) 该二次函数$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，函数值大于0对应图象在x轴上方的部分，结合与x轴交点为$(1,0)$和$(5,0)$，可得解集为$x＜1$或$x＞5$。
(5) 函数开口向上，顶点处取得最小值$y=-2$（$x=3$在$0＜x＜4$区间内，可取到）；计算区间端点的函数值：$x=0$时$y=\frac{5}{2}$，$x=4$时$y=\frac{1}{2}×(4-3)^2 -2=-\frac{3}{2}$，故区间内最大值为$\frac{5}{2}$，又$x=0$不在区间内，取不到该值，因此y的取值范围为$-2≤ y＜\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $(1,0),(5,0)$；(2) $y=\dfrac{1}{2}(x-3)^2-2$，$(3,-2)$；(3) 图略；(4) $x＜1$或$x＞5$；(5) $-2≤ y＜\dfrac{5}{2}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数的三种形式，二次函数的图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，核心考查二次函数与方程、不等式的关联，以及配方、数形结合的解题方法，熟练掌握二次函数基本性质是解题的关键，这类题型是高频基础考点。
【难度系数】
0.7