1. 某商场销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若每件降价1元，则每件盈利
39
元，每天可售出
22
件.若设每件衬衫降价x元，则每件盈利
40−x
元，每天售出
20+2x
件，每天的盈利为
(40−x)(20+2x)
元.
答案：1. 39；22；$(40-x)$；$(20+2x)$；$(40-x)(20+2x)$。
解析：
【分析】
解题时先明确销售问题中各量的变化逻辑：单件盈利随降价减少，销量随降价增加，总盈利=单件盈利×销售量。首先计算降价1元时的对应量，再推广到降价x元的情况：①单件盈利=原盈利-降价金额；②销量=原销量+降价带来的新增销量；③总盈利用前两个量相乘即可得到。
【解析】
1. 计算降价1元的情况：
原每件盈利40元，降价1元后，每件盈利为$40-1=39$元；
原每天售出20件，每降价1元多售出2件，降价1元后每天售出$20+2=22$件。
2. 推导降价x元的情况：
设每件降价x元，每件盈利为原盈利减去降价金额，即$\boldsymbol{(40-x)}$元；
每降价1元多售2件，降价x元后多售出$2x$件，总销量为$\boldsymbol{(20+2x)}$件；
每天的盈利=单件盈利×日销量，即$\boldsymbol{(40-x)(20+2x)}$元。
【答案】
39；22；$(40-x)$；$(20+2x)$；$(40-x)(20+2x)$
【知识点】
销售利润计算、列代数式
【点评】
本题是销售类实际问题的基础题型，核心是梳理清楚降价对单件利润和销量的影响，掌握总利润的计算逻辑，是后续解决销售最值类问题的基础。
【难度系数】
0.9
2. 某商店原来平均每天可销售某种水果 200 千克,每千克可盈利6元.为减少库存,经市场调查,如果这种水果每千克降价1元,则每天可多售出 20 千克.
（1）设每千克水果降价 $ x $ 元,平均每天盈利 $ y $ 元,试写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
（2）若要平均每天盈利 960 元,则每千克应降价多少元？
答案：2. (1) 由题意,可得 $y=(200+20x)(6-x)$,整理得 $y=-20x^2-80x+1\ 200$；
(2) 当 $y=960$ 时,$-20x^2-80x+1\ 200=960$,解得 $x_1=2$,$x_2=-6$(不符合题意,舍去).
∴ $x=2$。
解析：
【分析】
（1）要写出y关于x的函数解析式，需先明确销售问题的核心等量关系：总盈利=每千克盈利×总销售量。首先分析降价x元后的两个关键量：①每千克盈利：原价每千克盈利6元，降价x元后每千克盈利为$(6-x)$元；②总销售量：原日销量200千克，每降1元多售20千克，降价x元后日销量为$(200+20x)$千克，将两个量相乘再整理即可得到函数解析式。
（2）要求日均盈利960元时的降价金额，只需将$y=960$代入第一问的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合实际意义（降价金额不能为负数）舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
（1）根据题意，降价x元后每千克盈利为$(6-x)$元，日均销售量为$(200+20x)$千克，由总盈利计算公式可得：
$\begin{aligned}y&=(200+20x)(6-x)\\&=-20x^2-80x+1200\end{aligned}$
（2）当$y=960$时，代入函数解析式得：
$-20x^2-80x+1200=960$
整理得：$x^2+4x-12=0$
因式分解得：$(x+6)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-6$
由于降价金额不能为负，故$x=-6$不符合题意，舍去。
【答案】
（1）$y=-20x^2-80x+1200$；（2）每千克应降价2元
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，销售利润计算
【点评】
本题是销售类实际问题的基础题型，解题核心是找准总利润的等量关系，列对函数式和方程，求解后要注意结合实际情境检验根的合理性，逻辑清晰，易掌握。
【难度系数】
0.7
问题 某商店经营 T 恤衫，已知成批购进时单价是 2.5 元.根据市场调查，销售量与销售单价满足如下条件：在一段时间内，单价是 13.5 元时，销售量是 500 件，而单价每降低 1 元，就可以多售出 200 件.请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？设销售单价为 $ x(x ≤ 13.5) $ 元，那么，
（1）销售量可以表示为
；
（2）销售额可以表示为
；
（3）所获利润可以表示为
；
（4）当销售单价是
元时，可以获得最大利润，最大利润是
.
名师指导
这是一类经营性实际问题，它通过建立二次函数模型解决.应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握题中的数量关系，从而得到二次函数关系式，再求最值.获利就是指利润，总利润应为每件 T 恤衫的利润（售价－进价）乘 T 恤衫的销售量.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：（1）$\boldsymbol{3200 - 200x}$ 件
（2）$\boldsymbol{-200x^2 + 3200x}$ 元
（3）$\boldsymbol{-200x^2 + 3700x - 8000}$ 元
（4）$\boldsymbol{9.25}$，$\boldsymbol{9112.5}$ 元
答：当销售单价是9.25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112.5元。
解析：
【分析】
本题是利用二次函数解决销售利润最值的实际问题，解题思路如下：①先根据单价变化和销量的关系推导销售量表达式：单价为x元时，相比13.5元降低了(13.5-x)元，每降1元多售200件，即可求出总销量；②销售额=销售单价×销售量，代入销量表达式即可得到销售额的代数式；③总利润=每件利润×销售量，每件利润为(x-2.5)元，代入即可得到利润关于x的二次函数；④二次函数开口向下，顶点处取最大值，利用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$求出最优单价，再代入函数求出最大利润。
【解析】
（1）计算销售量：
单价为x元时，相比13.5元降低了$(13.5-x)$元，多售出的数量为$200(13.5-x)$件，
总销售量$=500 + 200(13.5-x) = 500 + 2700 - 200x = 3200 - 200x$（件）；
（2）计算销售额：
销售额=单价×销售量，即$x(3200 - 200x) = -200x^2 + 3200x$（元）；
（3）计算总利润：
每件利润为$(x-2.5)$元，总利润=每件利润×销售量，
即$(x-2.5)(3200 - 200x) = 3200x - 200x^2 - 8000 + 500x = -200x^2 + 3700x - 8000$（元）；
（4）求最大利润：
利润函数$y=-200x^2 + 3700x - 8000$中，$a=-200＜0$，函数开口向下，顶点处取最大值，
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a} = -\frac{3700}{2×(-200)} = 9.25$，
将$x=9.25$代入利润函数，得最大利润$y=-200×9.25^2 + 3700×9.25 - 8000 = 9112.5$（元）。
【答案】
（1）$3200 - 200x$件；（2）$-200x^2 + 3200x$元；（3）$-200x^2 + 3700x - 8000$元；（4）$9.25$，$9112.5$元
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数最值
【点评】
本题属于销售类二次函数常规应用题，核心是理清销售量、销售额、利润三类量的数量关系，正确建立二次函数模型，再结合二次函数的性质求最值，能较好地考查数学建模和运算能力。
【难度系数】
0.75
