跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系：$y=-\frac{1}{16}x^2 + bx + c$。已知OA=70 m，OC=60 m，落点P的水平距离是40 m，竖直高度是30 m。
（1）点A的坐标是
$A(0,70)$
，点P的坐标是
$P(40,30)$
；
（2）求满足条件的函数关系式$y=-\frac{1}{16}x^2 + bx + c$；
（3）运动员在空中飞行的过程中，当他与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离。
答案：(1) $A(0,70)$,$P(40,30)$；
(2) $y=-\frac{1}{16}x^2 +\frac{3}{2}x+70$；
(3) 18 m。
解析：
【分析】
（1）求点坐标：A点在y轴上，横坐标为0，OA=70即纵坐标为70，可直接得到A的坐标；题目明确给出P的水平距离（横坐标）为40m，竖直高度（纵坐标）为30m，直接写出P坐标即可。
（2）求二次函数解析式：已知函数的二次项系数，只需将A、P两点坐标代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解出b、c的值即可确定函数关系式。
（3）求竖直距离最大时的水平距离：首先利用C(0,60)和P(40,30)求出着陆坡BC对应的一次函数解析式，运动员与着陆坡的竖直距离等于同一横坐标下抛物线的y值减去一次函数的y值，得到一个新的开口向下的二次函数，该函数顶点对应的横坐标即为所求的水平距离。
【解析】
（1）
∵A在y轴上，OA=70m，
∴A点横坐标为0，纵坐标为70，即$A(0,70)$；
∵落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m，
∴P点横坐标为40，纵坐标为30，即$P(40,30)$。
（2）将$A(0,70)$、$P(40,30)$代入$y=-\frac{1}{16}x^2 + bx + c$：
当$x=0$时，代入得$c=70$；
当$x=40$时，代入得$-\frac{1}{16}×40^2 + 40b + 70 = 30$，
计算化简得：$-100 +40b +70=30$，解得$b=\frac{3}{2}$。
∴函数关系式为$y=-\frac{1}{16}x^2 +\frac{3}{2}x +70$。
（3）设着陆坡BC的解析式为$y=kx+m$，将$C(0,60)$、$P(40,30)$代入：
得$m=60$，$40k+60=30$，解得$k=-\frac{3}{4}$，即BC的解析式为$y=-\frac{3}{4}x +60$。
设竖直方向距离为$h$，则：
$h=(-\frac{1}{16}x^2 +\frac{3}{2}x +70) - (-\frac{3}{4}x +60)=-\frac{1}{16}x^2 +\frac{9}{4}x +10$
该二次函数开口向下，最大值在顶点处，根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{16}$，$b=\frac{9}{4}$得：
$x=-\frac{\frac{9}{4}}{2×(-\frac{1}{16})}=18$，即此时水平距离为18m。
【答案】
(1) $(0,70)$，$(40,30)$；
(2) $y=-\frac{1}{16}x^2 +\frac{3}{2}x+70$；
(3) $18\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，一次函数应用
【点评】
本题以跳台滑雪的实际场景为背景，考查二次函数与一次函数的综合应用，解题时需要将实际的距离问题转化为函数值的差的问题，结合函数的性质求解，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
