【分析】
要解决本题，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤将原方程变形为$(x+a)^2 =b$的形式，再确定$a$、$b$的值后计算$a+b$即可。配方法的核心思路是先把二次项系数化为1，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方式。
【解析】
解：① 移项，将常数项移到等号右侧：
$2x^2 + 4x = 5$
② 二次项系数化为1，方程两边同时除以2：
$x^2 + 2x = \frac{5}{2}$
③ 配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方：一次项系数为2，一半是1，平方为1，因此两边同时加1：
$x^2 + 2x +1 = \frac{5}{2} +1$
左侧整理为完全平方式，右侧计算结果：
$(x+1)^2 = \frac{7}{2}$
对比$(x+a)^2 =b$的形式，得$a=1$，$b=\frac{7}{2}$，因此：
$a+b = 1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题，重点考察配方法的操作流程，熟练掌握“化1、移项、配方、变形”的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查配方法的应用，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。对于二次项系数为1的二次式$x^2+px$，要配成完全平方式，需要添加的常数项是一次项系数一半的平方$(\frac{p}{2})^2$，此时完全平方式为$(x+\frac{p}{2})^2$，若一次项系数为负，括号内的符号对应为减号。我们只需逐个提取每个式子的一次项系数，按上述规则计算即可。
【解析】
根据完全平方公式的配⽅规则：二次项系数为1时，添加的常数项=（一次项系数÷2）²，括号内的常数=一次项系数÷2。
(1) 一次项系数为$-2$，则括号内常数为$-2÷2=-1$，常数项为$(-1)^2=1$，故填1，1；
(2) 一次项系数为$6$，则括号内常数为$6÷2=3$，常数项为$3^2=9$，故填9，3；
(3) 一次项系数为$-9$，则括号内常数为$-9÷2=-\frac{9}{2}$，常数项为$(-\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}$，故填$\frac{81}{4}$，$\frac{9}{2}$；
(4) 一次项系数为$5$，则括号内常数为$5÷2=\frac{5}{2}$，常数项为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，故填$\frac{25}{4}$，$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 1，1；(2) 9，3；(3) $\frac{81}{4}$，$\frac{9}{2}$；(4) $\frac{25}{4}$，$\frac{5}{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的理解，熟练掌握二次项系数为1时的配方法规则，是后续用配方法解一元二次方程、求代数式最值等问题的重要基础。
【难度系数】
0.85

【分析】
本题可通过完全平方公式展开右边的代数式，再根据两个多项式相等时对应项系数相等的原理，建立关于a、b的方程，进而求解得到a和b的值。解题时先回忆完全平方公式的结构，再展开右侧式子，最后对应系数列等式计算即可。
【解析】
首先将右侧的代数式展开：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得
$(x+a)^2+2 = x^2 + 2ax + a^2 + 2$
已知$x^2 - 2x + b = (x+a)^2 + 2$，即两个多项式相等，因此对应项的系数相等：
1. 一次项系数相等：$2a = -2$，解得$a=-1$
2. 常数项相等：$a^2 + 2 = b$，将$a=-1$代入，得$b=(-1)^2 + 2 = 1+2=3$
【答案】
$-1;3$
【知识点】
完全平方公式；配方法；待定系数法
【点评】
本题是配方法的典型基础题型，核心是掌握完全平方公式的展开形式，明确多项式相等时对应系数相等的原则，熟练掌握此类题目可为后续解一元二次方程、求二次函数顶点式等内容打下基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明代数式的值恒大于0，可通过配方法将原式变形为“完全平方式加常数”的形式，再利用平方的非负性判断原式的取值范围。具体思路为：①先提取二次项系数，将含x的二次项、一次项合并到括号内；②在括号内加上一次项系数一半的平方凑完全平方式，同时减去相同的数保证代数式恒等变形；③整理得到$a(x+b)^2 +c$的形式后，根据任何实数的平方都非负的性质，判断整个式子的最小值，若最小值大于0即可证明原式恒大于0。
【解析】
证明：
$2x^2 -4x +14$
$=2(x^2 -2x) +14$
$=2(x^2 -2x +1 -1) +14$
$=2[(x-1)^2 -1] +14$
$=2(x-1)^2 -2 +14$
$=2(x-1)^2 +12$
∵ 无论x取何值，都有$(x-1)^2 ≥ 0$，
∴ $2(x-1)^2 ≥ 0$，
∴ $2(x-1)^2 +12 ≥ 12 ＞ 0$，
即不论x取何值，代数式$2x^2 -4x +14$的值恒大于0。
【答案】
不论x取何值，代数式$2x^2 -4x +14$的值恒大于0。
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是通过恒等配方将二次三项式转化为含平方项的形式，再结合平方的非负性判断代数式的取值范围，解题时需注意配方过程中要保证代数式的值不变，不要漏乘提取的二次项系数。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题的核心是理解这种几何构造法的本质是配方法的直观体现，解题思路如下：首先回忆配方法的规则，对于$x^2+bx$的形式，需要加上$(\frac{b}{2})^2$配成完全平方；对应到几何图形中，$x^2$是边长为$x$的正方形面积，$bx$拆分为两个长为$x$、宽为$\frac{b}{2}$的矩形，拼接在正方形相邻边外侧，缺的小正方形边长就是$\frac{b}{2}$，大正方形边长为$x+\frac{b}{2}$，面积等于原方程右侧常数加上$(\frac{b}{2})^2$。本题中方程是$x^2+4x=5$，先确定一次项系数的一半是2，再匹配对应的构造图形即可。
【解析】
这种构造方法是配方法的几何表达，我们逐步分析方程$x^2+4x=5$的构造逻辑：
1. 式子中的$x^2$对应边长为$x$的正方形的面积；
2. 一次项$4x$可拆为2个长为$x$、宽为$2$的矩形的面积和（$2$是一次项系数$4$的一半）；
3. 将这两个矩形分别拼接在边长为$x$的正方形的右侧和下侧，此时拼接后的图形仅缺少一个边长为$2$的小正方形，就能构成边长为$(x+2)$的完整大正方形；
4. 大正方形的面积等于原有图形的面积加上缺的小正方形面积，即$(x+2)^2 = x^2+4x + 2^2 = 5 + 4 = 9$，和这个构造逻辑匹配的图形是选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式的几何意义
【点评】
本题将代数中的配方法与几何图形的面积表示结合，考查对配方法原理的理解，需要学生建立代数变形与几何直观的对应关系，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7