【分析】
要将代数式化为$a(x+m)^2+n$的形式，核心是用配方法构造完全平方式：第一步先提取二次项系数，把含未知数的项放在括号内，使括号内的二次项系数为1；第二步对括号内的部分配方，加上并减去一次项系数一半的平方，把括号内含未知数的部分写成完全平方形式；第三步整理合并常数项，即可得到要求的形式，对照形式就能得出对应空的答案。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{2}y^2+5y+1$变形：
第一步，提取二次项系数$\frac{1}{2}$：$\frac{1}{2}y^2+5y+1=\frac{1}{2}(y^2+10y)+1$
第二步，括号内配方：一次项系数为10，一半是5，平方为$5^2=25$，因此得$\frac{1}{2}[(y^2+10y+25)-25]+1$
第三步，整理得：$\frac{1}{2}(y+5)^2 - \frac{1}{2}×25 +1 = \frac{1}{2}(y+5)^2 - \frac{23}{2}$
所以两个空依次填$5$、$-\frac{23}{2}$。
(2) 对$2x^2+2\sqrt{2}x+4$变形：
第一步，提取二次项系数$2$：$2x^2+2\sqrt{2}x+4=2(x^2+\sqrt{2}x)+4$
第二步，括号内配方：一次项系数为$\sqrt{2}$，一半是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，平方为$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$，因此得$2[(x^2+\sqrt{2}x+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}]+4$
第三步，整理得：$2(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2 -2×\frac{1}{2} +4=2(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2 +3$
所以两个空依次填$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$3$。
【答案】
(1) $5,-\frac{23}{2}$；(2) $\frac{\sqrt{2}}{2},3$
【知识点】
配方法，完全平方公式，代数式变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是掌握配方法的基本步骤，尤其要注意提取二次项系数后，配方时增减的常数项不要漏乘括号外的系数，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先要准确理解“同族二次方程”的定义：两个同族二次方程中，$(x-h)^2$里的$h$和常数$k$是完全相同的，仅二次项系数不同。解题时先从已知方程$2(y-1)^2+3=0$中提取$h=1$、$k=3$，再将第二个方程$ay^2+y+c=0$改写成顶点式$a(y-h)^2+k=0$的形式，展开后与原式对比对应项系数，即可求出$c$的值。
【解析】
根据“同族二次方程”的定义，方程$ay^2 + y +c=0$可改写为$a(y-1)^2 +3=0$的形式。
将$a(y-1)^2 +3=0$展开：
$\begin{aligned}a(y^2 - 2y +1) + 3 &= 0 \\ay^2 - 2ay + a + 3 &= 0\end{aligned}$
该式与$ay^2 + y + c = 0$是同一个方程，对应项系数相等：
1. 一次项系数：$-2a = 1$，解得$a = -\frac{1}{2}$
2. 常数项：$a + 3 = c$，把$a=-\frac{1}{2}$代入得：
$c = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
新定义问题，配方法，待定系数法
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是抓住新定义中两个方程$h$、$k$相同的特点，将一般式转化为顶点式，通过对应系数相等求解，主要考察对新定义的理解能力和代数式转化能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解本题需先掌握配方法解一元二次方程的通用步骤：①化：若二次项系数不为1，先给方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；②移：将常数项移到方程右侧，注意移项要变号；③配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左侧凑成完全平方式；④开：若方程右侧的常数为非负数，直接对两边开平方，得到两个一元一次方程；⑤解：分别解得到的一元一次方程，即可得到原方程的根。每道小题按上述步骤对应操作即可，第（6）题给出的$p^2-4q≥0$的条件，保证开平方运算有意义。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 -16x = -28$，
配方，两边同时加 $(-16÷2)^2=64$，得 $x^2 -16x +64 = -28 +64$，
即 $(x-8)^2 = 36$，
开平方，得 $x-8 = \pm6$，
解得 $x_1=8+6=14$，$x_2=8-6=2$。
(2) 移项，得 $x^2 +10x = -9$，
配方，两边同时加 $(10÷2)^2=25$，得 $x^2 +10x +25 = -9 +25$，
即 $(x+5)^2 = 16$，
开平方，得 $x+5 = \pm4$，
解得 $x_1=-5+4=-1$，$x_2=-5-4=-9$。
(3) 移项，得 $x^2 -3x = 4$，
配方，两边同时加 $(-3÷2)^2=\frac{9}{4}$，得 $x^2 -3x +\frac{9}{4} = 4 +\frac{9}{4}$，
即 $(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{25}{4}$，
开平方，得 $x-\frac{3}{2} = \pm\frac{5}{2}$，
解得 $x_1=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，$x_2=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-1$。
(4) 移项整理，得 $x^2 +3x = 3$，
配方，两边同时加 $(3÷2)^2=\frac{9}{4}$，得 $x^2 +3x +\frac{9}{4} = 3 +\frac{9}{4}$，
即 $(x+\frac{3}{2})^2 = \frac{21}{4}$，
开平方，得 $x+\frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{21}}{2}$，
解得 $x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$。
(5) 给方程两边同除以2，得 $x^2 +\frac{3}{2}x +\frac{1}{2}=0$，
移项，得 $x^2 +\frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$，
配方，两边同时加 $(\frac{3}{2}÷2)^2=\frac{9}{16}$，得 $x^2 +\frac{3}{2}x +\frac{9}{16} = -\frac{1}{2} +\frac{9}{16}$，
即 $(x+\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$，
开平方，得 $x+\frac{3}{4} = \pm\frac{1}{4}$，
解得 $x_1=-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=-1$，$x_2=-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$。
(6) 移项，得 $x^2 +px = -q$，
配方，两边同时加 $(\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}$，得 $x^2 +px +\frac{p^2}{4} = -q +\frac{p^2}{4}$，
即 $(x+\frac{p}{2})^2 = \frac{p^2-4q}{4}$，
$\because p^2-4q≥0$，开平方得 $x+\frac{p}{2} = \pm\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}$，
解得 $x = \frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=14,x_2=2$； (2) $x_1=-1,x_2=-9$；
(3) $x_1=4,x_2=-1$； (4) $x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$；
(5) $x_1=-1,x_2=-\frac{1}{2}$； (6)$x=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的意义
【点评】
本题是配方法的基础训练题，覆盖了二次项系数为1、二次项系数不为1、含字母系数的多种一元二次方程题型，熟练掌握配方法的操作步骤是后续学习一元二次方程其他解法的基础，解题时需注意移项要变号，配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，二次项系数不为1时要先将其化为1再操作。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明一个方程是一元二次方程，根据定义只需证明方程的二次项系数恒不为0即可。本题解题核心是判断二次项系数$m^2 -8m +20$的取值范围，我们可以用配方法将这个二次三项式变形，再结合平方数的非负性，证明该式的值恒大于0，即可得出结论。
【解析】
要证明该方程不论$m$取何值都是一元二次方程，只需证明二次项系数$m^2 -8m +20 ≠ 0$恒成立：
1. 对二次项系数配方：
$m^2 -8m +20 = m^2 -8m +16 +4 = (m-4)^2 +4$
2. 结合平方的非负性推导取值范围：
因为任何数的平方都是非负数，所以$(m-4)^2 ≥ 0$，因此可得：
$(m-4)^2 +4 ≥ 0 +4 =4 ＞0$
即$m^2 -8m +20$的值恒大于0，不可能等于0。
因此不论$m$取何值，原方程的二次项系数都不为0，满足一元二次方程的定义。
【答案】
证明：$m^2-8m+20=m^2-8m+16+4=(m-4)^2+4$，
$\because (m-4)^2≥0$，$\therefore (m-4)^2+4≥4＞0$，即$m^2-8m+20≠0$恒成立，
$\therefore$无论$m$取何值，原方程都是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义、配方法的应用、平方的非负性
【点评】
本题重点考察一元二次方程的判定，解题时要抓住“二次项系数不为0”这一核心条件，结合配方法和非负数的性质即可快速求解，是对基础概念和基础运算的综合考察。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明$A-B≥2$，首先可通过作差计算出$A-B$对应的代数式，再对得到的二次式用配方法变形，转化为“完全平方+常数”的形式，最后利用任意实数的平方具有非负性的性质，即可推导$A-B$的取值范围，完成证明。
【解析】
证明：
1. 计算$A-B$的表达式：
$A-B=(a^2 - a +5)-(a+2)$
去括号得：$A-B=a^2 -a +5 -a -2$
合并同类项得：$A-B=a^2 -2a +3$
2. 对二次式配方：
将常数项3拆分为$1+2$，可得：
$A-B=a^2 -2a +1 +2$
根据完全平方公式，$a^2 -2a +1=(a-1)^2$，因此：
$A-B=(a-1)^2 +2$
3. 结合平方的非负性推导取值范围：
∵ 对任意实数$a$，都有$(a-1)^2≥0$
∴ $(a-1)^2 +2≥0+2=2$
即$A-B≥2$，得证。
【答案】
$A-B≥2$成立。
【知识点】
作差法比较大小、配方法、平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用题目，解题核心是先作差得到二次代数式，再通过配方结合非负数的性质判断取值范围，熟练掌握配方法的操作步骤是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题考查一元二次方程根的判别式的基础知识，解题思路如下：首先回忆根的判别式的定义，我们推导一元二次方程求根公式时，配方可得$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，由于$a≠0$，故$4a^2＞0$，因此$b^2-4ac$的符号直接决定方程实数根的情况，我们将该式定义为判别式$\Delta$。接下来结合平方根的性质分情况判断：若被开方数为正，有两个不同的平方根，对应两个不等实根；若被开方数为0，只有一个平方根0，对应两个相等实根；若被开方数为负，实数范围内无平方根，对应无实根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
1. 根的判别式定义：我们把$b^2-4ac$叫做该方程的根的判别式，记作$\Delta$，即$\Delta = b^2-4ac$；
2. 根的情况与判别式的关系：
① 当$\Delta＞0$时，$\sqrt{\Delta}$是正实数，代入求根公式可得两个不同的实数解，即方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta=0$时，$\sqrt{\Delta}=0$，代入求根公式可得两个相同的实数解，即方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta＜0$时，负数在实数范围内没有平方根，因此方程没有实数根。
【答案】
$\Delta = b^2-4ac$；当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【知识点】
1. 根的判别式定义
2. 判别式与根的关系
【点评】
本题是对一元二次方程判别式基础概念的考查，属于记忆类基础题型，熟练掌握判别式的定义以及对应根的三种情况，是后续利用判别式解决一元二次方程相关问题的核心基础。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，回忆一元二次方程根的判别式公式，先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入公式计算Δ；第二步，结合非负数的性质判断Δ的符号，再根据判别式与实数根的对应关系确定方程是否有实数根。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
1. 确定本题方程$3x^2 + kx - 2 = 0$的各项系数：$a=3$，$b=k$，$c=-2$，代入判别式公式得：
$\Delta = k^2 - 4×3×(-2) = k^2 + 24$
2. 判断判别式的符号：
因为任意实数的平方都是非负数，即$k^2≥0$，因此$k^2+24≥24＞0$。
根据判别式的性质：当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此该方程有实数根。
【答案】
$k^2+24$；有
【知识点】
根的判别式计算；非负数的性质；根的情况判定
【点评】
本题是基础类题目，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是准确识别方程的各项系数，结合平方的非负性判断判别式的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.9