【分析】
本题要证明含参数$k$的整式方程总有实数根，由于方程的二次项系数含有参数$k$，无法直接确定方程是一元一次方程还是一元二次方程，因此需要分类讨论：①当$k=1$时，二次项系数为0，方程为一元一次方程，直接求解即可判断是否有实根；②当$k≠1$时，方程为一元二次方程，可通过计算根的判别式$\Delta$，判断$\Delta$的符号，若$\Delta≥0$则方程有实根；最后综合两种情况即可完成证明。
【解析】
① 当$k=1$时，原方程化为$2x + 2 = 0$，
解得$x = -1$，此时方程有实数根。
② 当$k ≠ 1$时，原方程是一元二次方程，
判别式$\Delta=(2k)^2 - 4×(k-1)×2$
$=4k^2 - 8k + 8$
$=4(k-1)^2 + 4$
$\because (k-1)^2 ≥ 0$，
$\therefore 4(k-1)^2 + 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
$\therefore$ 此时一元二次方程有两个不相等的实数根。
综上，无论$k$为何值，方程总有实数根。
【答案】无论$k$为何值，方程总有实数根。
【知识点】
1. 一元一次方程求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是含参数整式方程根的判定类基础题，易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接默认方程为一元二次方程求解。解题时需先根据二次项系数的取值分类，再结合对应方程的性质判断根的情况，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。因此我们只需逐一计算每个选项中方程的判别式，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
A选项：方程$x^2 + 2x + 1 = 0$中，$a=1,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×1×1=4-4=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
B选项：方程$x^2 + x + 2 = 0$中，$a=1,b=1,c=2$，$\Delta=1^2-4×1×2=1-8=-7＜0$，方程没有实数根，符合要求；
C选项：方程$x^2 - 1 = 0$中，$a=1,b=0,c=-1$，$\Delta=0^2-4×1×(-1)=0+4=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D选项：方程$x^2 - 2x - 1 = 0$中，$a=1,b=-2,c=-1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 根的判别式应用
2. 实数根判定
【点评】
本题是根的判别式的基础考法，核心是牢记判别式的计算公式以及不同取值对应的根的情况，计算时注意系数的正负号即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，我们需要同时满足两个限制条件：首先题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们先根据一元二次方程的定义确定m的第一个取值要求，再代入判别式公式列不等式求解，最后合并两个条件即可得到m的完整取值范围。
【解析】
解：① 因为方程$mx^2 -2x +1=0$是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即$m≠0$；
② 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=m$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m × 1 = 4 - 4m$
由于方程有两个不相等的实数根，因此$\Delta ＞ 0$，即：
$4 - 4m ＞ 0$
解不等式可得：$m ＜ 1$
③ 结合两个限制条件，$m$的取值范围为$m ＜ 1$且$m≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常考基础题型，解题时很容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，需注意两个条件要同时满足，避免漏解错选。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算“☆”的规则，将1☆x按照规则转化为常规的代数式，再根据题意列出方程，整理为一元二次方程的一般形式后，通过计算根的判别式Δ的取值，即可判断方程根的情况。
【解析】
根据题中定义的运算规则$a☆b=ab^2 - ab$，可得：
$1☆x = 1× x^2 - 1× x = x^2 - x$
已知$1☆x=2$，代入得：
$x^2 - x = 2$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - x - 2 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9$
因为$\Delta=9＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
D
【知识点】
1.新定义运算 2.一元二次方程根的判别式 3.一元二次方程化简
【点评】
本题结合新运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题核心是正确将新定义运算转化为常规代数运算，再利用判别式的取值判断根的情况，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
不解方程判别一元二次方程根的情况，需用到一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题步骤为：①将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，注意移项要变号；②准确确定$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的值，注意带上系数的符号；③代入公式计算$\Delta$的数值或化简结果；④根据$\Delta$的符号判断根的情况即可。
【解析】
（1）方程$2x^2 - 4x - 3 = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-4$，$c=-3$，
代入判别式得：$\Delta = (-4)^2 - 4×2×(-3) = 16 + 24 = 40 ＞ 0$。
（2）先移项整理为一般形式：$2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$，其中$a=2$，$b=2\sqrt{2}$，$c=1$，
代入判别式得：$\Delta = (2\sqrt{2})^2 - 4×2×1 = 8 - 8 = 0$。
（3）方程$4x^2 - 5x + \sqrt{3} = 0$为一般形式，其中$a=4$，$b=-5$，$c=\sqrt{3}$，
代入判别式得：$\Delta = (-5)^2 - 4×4×\sqrt{3} = 25 - 16\sqrt{3}$，
因为$16\sqrt{3}\approx27.71＞25$，所以$\Delta ＜ 0$。
（4）方程$x^2 + 2ax + a^2 - 1 = 0$为一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数为$2a$，常数项为$a^2-1$，
代入判别式得：$\Delta = (2a)^2 - 4×1×(a^2 - 1) = 4a^2 - 4a^2 + 4 = 4 ＞ 0$，
无论$a$取何实数，$\Delta$恒为4大于0。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根；(2) 有两个相等的实数根；(3) 没有实数根；(4) 有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程一般式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确将方程化为一般形式、正确提取各项系数，计算判别式时要注意符号运算，含参数的方程只需化简判别式即可判断符号，无需代入参数取值。
【难度系数】
0.8