【分析】
解题时首先利用抛物线与x轴交点距离和韦达定理的关系，求出原抛物线中参数a、b满足的关系式；再根据抛物线平移“左加右减、上加下减”的规则，写出平移后新抛物线的解析式；最后再次利用韦达定理求新抛物线与x轴两交点的距离，代入之前得到的a、b关系式即可算出结果，无需单独求解a、b的具体数值。
【解析】
1. 设原抛物线$y=x^2+ax+b$与x轴交点的横坐标为$x_1$、$x_2$，由两交点距离为2可得$|x_1-x_2|=2$。
根据韦达定理，$x_1+x_2=-a$，$x_1x_2=b$，因此：
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2-4b=2^2=4$
即得到关系式$a^2-4b=4$。
2. 根据平移规则，将原抛物线向右平移2个单位、向下平移3个单位后，新抛物线的解析式为：
$y=(x-2)^2+a(x-2)+b-3$
展开整理得：$y=x^2+(a-4)x+(b-2a+1)$
3. 设新抛物线与x轴交点的横坐标为$x_1'$、$x_2'$，两交点距离为$|x_1'-x_2'|$。
对新抛物线应用韦达定理：$x_1'+x_2'=-(a-4)$，$x_1'x_2'=b-2a+1$，因此：
$(x_1'-x_2')^2=(x_1'+x_2')^2-4x_1'x_2'=(a-4)^2-4(b-2a+1)$
展开化简得：
$=a^2-8a+16-4b+8a-4=a^2-4b+12$
将$a^2-4b=4$代入上式，得：
$(x_1'-x_2')^2=4+12=16$
因此$|x_1'-x_2'|=\sqrt{16}=4$，即新抛物线与x轴两个交点间的距离为4。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的平移，韦达定理，二次函数与x轴交点问题
【点评】
本题综合考查二次函数的平移规律和韦达定理的应用，解题核心是利用整体代入的思想，不需要求出参数a、b的具体值即可得到结果，能很好地检验对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】首先观察抛物线解析式为顶点式，对称轴为直线x=2，且a＞0开口向上，结合抛物线的对称性分析：到对称轴距离相等的点纵坐标必须相等才能同时在抛物线上，先判断五个点的共存性：A(-1,5)和E(5,5)到x=2距离均为3且纵坐标相等，可同时存在；B(1,2)和D(3,-1)到x=2距离均为1但纵坐标不等，不能同时存在；C(2,1)在对称轴上，若在抛物线上则为顶点。再分情况讨论三点组合，用待定系数法求解a的值，排除可能值即可得到答案。
【解析】抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$的对称轴为直线$x=2$，开口向上。
根据抛物线对称性：横坐标到x=2距离相等的点，纵坐标相等才能同时在抛物线上。
计算各点到对称轴的距离：A为3，B为1，C为0，D为1，E为3，且$y_A=y_E=5$，$y_B≠y_D$，因此A、E可同时在抛物线上，B、D不能同时在抛物线上。
分情况讨论：
1. 抛物线过A、E、B三点：
将A(-1,5)、B(1,2)代入解析式得：
$\begin{cases}5=a(-1-2)^2 +k \\2=a(1-2)^2 +k \end{cases}$，即$\begin{cases}9a +k=5 \\a +k=2 \end{cases}$
两式相减得$8a=3$，解得$a=\frac{3}{8}$，为选项A，符合要求。
2. 抛物线过A、E、D三点：
将A(-1,5)、D(3,-1)代入解析式得：
$\begin{cases}9a +k=5 \\a +k=-1 \end{cases}$
两式相减得$8a=6$，解得$a=\frac{3}{4}$，为选项D，符合要求。
3. 抛物线过A、C、E三点：
C(2,1)在对称轴上，因此$k=1$，将A(-1,5)代入得$5=9a +1$，解得$a=\frac{4}{9}$，为选项B，符合要求。
综上，a的可能值为$\frac{3}{8}、\frac{4}{9}、\frac{3}{4}$，不可能为$\frac{2}{3}$。
【答案】C
【知识点】抛物线的对称性、二次函数顶点式、待定系数法求解析式
【点评】本题解题核心是先利用抛物线对称性筛选可共存的点，再分类讨论不同三点组合，结合待定系数法求解，解题时注意a＞0的限制条件，避免错算不符合要求的解。
【难度系数】0.6

【分析】
解题时以正方形的边长为中间量建立周长和面积的联系：第一步先根据正方形周长公式，用已知的周长x表示出边长；第二步再将边长代入正方形面积公式，化简后即可得到S与x的函数关系式。
【解析】
解：已知正方形的周长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据正方形周长公式“周长=4×边长”，可得正方形的边长为$\frac{x}{4}\ \mathrm{cm}$，
再根据正方形面积公式“面积=边长²”，将边长代入得：
$S=(\frac{x}{4})^2=\frac{1}{16}x^2$，其中$x＞0$。
【答案】
$S=\frac{1}{16}x^2$
【知识点】
正方形周长公式，正方形面积公式，列函数关系式
【点评】
本题是基础题型，主要考查对正方形基本公式的掌握和代数式化简能力，解题时注意平方运算的正确性，避免误将$(\frac{x}{4})^2$算为$\frac{x^2}{4}$。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题要求二次函数的最小值，首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点处取得函数最小值。解题时可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接读取顶点纵坐标得到最小值，也可直接代入二次函数最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次函数逐步配方：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}x^2 -6x +21\\&=\frac{1}{2}(x^2 -12x) +21\\&=\frac{1}{2}(x^2 -12x +36 -36) +21\\&=\frac{1}{2}[(x-6)^2 -36] +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 - 18 +21\\&=\frac{1}{2}(x-6)^2 +3\end{aligned}$
由于$\frac{1}{2}(x-6)^2≥0$，因此当$(x-6)^2=0$即$x=6$时，$y$取得最小值，最小值为$0+3=3$。
方法二（公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的最值公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=\frac{1}{2}$，$b=-6$，$c=21$，代入公式得：
$\frac{4×\frac{1}{2}×21 - (-6)^2}{4×\frac{1}{2}}=\frac{42 - 36}{2}=3$
即二次函数的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考察二次函数最值的求解方法，熟练掌握配方法或最值公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路如下：1. 明确函数图像上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知点的坐标代入抛物线解析式，可以得到关于a、b的等式；2. 对得到的等式进行整理，得到4a+2b的值；3. 观察所求代数式8a+4b+1的结构，发现8a+4b是4a+2b的2倍，因此采用整体代入的方法，即可求出代数式的值，不需要单独计算a、b的具体数值，简化运算过程。
【解析】
∵抛物线$y = ax^2 + bx - 3$经过点$(2,4)$，
∴将$x=2$，$y=4$代入抛物线解析式，得：
$a×2^2 + b×2 - 3 = 4$
整理得：$4a + 2b = 7$
观察所求代数式$8a + 4b + 1$，可变形为：
$8a + 4b + 1 = 2(4a + 2b) + 1$
将$4a + 2b = 7$整体代入上式，得：
$2×7 + 1 = 15$
【答案】
15
【知识点】
二次函数图像上点的坐标特征；代数式整体代入求值
【点评】
本题考查二次函数的性质与代数式求值的结合，解题的核心是利用点在函数图像上的性质得到a、b的数量关系，再通过整体代入法计算，避免了单独求解a、b的繁琐过程，是较为基础的常规题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断哪些函数图象可通过平移得到目标函数的图象，需明确二次函数平移的核心性质：平移只会改变图象的位置，不会改变图象的形状和开口方向，即平移前后二次项系数$a$完全相同。因此解题步骤为：先将目标函数化为顶点式，确定其二次项系数$a$的值，再逐一核对三个给定函数的二次项系数，$a$相等的即为符合要求的选项。
【解析】
首先将目标函数$y=x^2+2x-3$配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+2x-3\\&=(x^2+2x+1)-1-3\\&=(x+1)^2-4\end{aligned}$
可得该函数的二次项系数$a=1$。
逐一分析三个函数：
①$y=x^2$的二次项系数$a=1$，与目标函数$a$相等，可通过向左平移1个单位、向下平移4个单位得到目标函数图象，符合要求；
②$y=-x^2$的二次项系数$a=-1$，与目标函数$a$不相等，开口方向相反，无法通过平移得到目标函数图象，不符合要求；
③$y=(x-1)^2+2$的二次项系数$a=1$，与目标函数$a$相等，可通过向左平移2个单位、向下平移6个单位得到目标函数图象，符合要求。
综上，符合要求的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数配方
【点评】
本题解题的关键是抓住二次函数平移的本质特征：平移前后二次项系数$a$保持不变，无需计算具体平移方式，仅通过对比$a$的值即可快速判断。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题有两种常用思路：①直接代入法：将三点的横坐标分别代入抛物线解析式，求出对应的$y_1、y_2、y_3$的表达式，再比较大小；②性质法：先根据抛物线的顶点式确定开口方向和对称轴，开口向下的抛物线上的点，横坐标离对称轴越远，对应的函数值越小，再计算三点横坐标到对称轴的距离，根据距离大小即可判断$y$值的大小关系，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（性质法）：
抛物线$y=-(x+1)^2+a$的二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小。
分别计算三点横坐标到对称轴$x=-1$的距离：
点A到对称轴的距离：$\left|-2 - (-1)\right|=1$
点B到对称轴的距离：$\left|1 - (-1)\right|=2$
点C到对称轴的距离：$\left|2 - (-1)\right|=3$
因为$1＜2＜3$，所以对应的函数值满足$y_3＜y_2＜y_1$。
方法二（代入计算法）：
将$A(-2,y_1)$代入解析式得：$y_1=-(-2+1)^2+a=-1+a$
将$B(1,y_2)$代入解析式得：$y_2=-(1+1)^2+a=-4+a$
将$C(2,y_3)$代入解析式得：$y_3=-(2+1)^2+a=-9+a$
因为$-9+a ＜ -4+a ＜ -1+a$，所以$y_3＜y_2＜y_1$。
【答案】
$y_3＜y_2＜y_1$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，既可以通过代入计算比较大小，也可以利用抛物线的性质快速判断，掌握二次函数的开口方向、对称轴与函数值的对应关系是解题的关键，能有效考查学生对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路分为三步：1. 先确定原二次函数与x轴的交点、顶点坐标，推导翻折后新函数的分段解析式：原二次函数$y=-x^2+2x+3$与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，顶点为$(1,4)$，将x轴上方部分沿x轴翻折后，$-1≤ x≤3$区间的解析式为$y=x^2-2x-3$，$x＜-1$或$x＞3$区间仍保留原解析式$y=-x^2+2x+3$。2. 分类讨论直线$y=x+b$与新图像有3个公共点的两类情形：①直线过两交点中的$(3,0)$；②直线与翻折后的中间段抛物线相切。3. 分别对两类情形列方程求解，检验解是否符合对应区间要求即可得到b的取值。
【解析】
第一步：求原二次函数的交点与翻折后解析式
令$y=-x^2+2x+3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即原函数与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$。
原函数配方得$y=-(x-1)^2+4$，顶点为$(1,4)$。
沿x轴翻折后x不变，y取相反数，因此新函数分段解析式为：
$\begin{cases}y=-x^2+2x+3&(x＜-1或x＞3)\\y=x^2-2x-3&(-1≤ x≤3)\end{cases}$
第二步：分类讨论3个公共点的情况
情形1：直线$y=x+b$过点$(3,0)$
代入坐标得$0=3+b$，解得$b=-3$。
验证：此时直线与x＜-1段的原抛物线有1个交点，与中间翻折段抛物线有2个交点（含$(3,0)$），共3个交点，符合要求。
情形2：直线$y=x+b$与中间翻折段抛物线$y=x^2-2x-3$相切
联立方程得$x+b=x^2-2x-3$，整理为$x^2-3x-(3+b)=0$。
相切时一元二次方程判别式$\Delta=0$，即：
$(-3)^2-4×1×[-(3+b)]=0$
$9+12+4b=0$
解得$b=-\frac{21}{4}$。
验证：此时方程的根为$x=\frac{3}{2}$，在$[-1,3]$区间内，同时直线与$x＜-1$、$x＞3$两段原抛物线各有1个交点，共3个交点，符合要求。
【答案】
$-\frac{21}{4}$或$-3$
【知识点】
二次函数图像翻折，一次函数与二次函数交点，一元二次方程判别式
【点评】
本题为二次函数综合题，核心是明确翻折后函数的分段性质，分类讨论交点个数为3的所有可能情形，解题时注意验证解是否符合对应区间的取值范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.35

【分析】
(1) 要求二次函数解析式，已知函数图象上三个点的坐标，我们可设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数的值，即可得到函数解析式。(2) 求$m$的值，本质是求$x=4$对应的函数值，将$x=4$代入已求得的解析式计算即可；求顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标。
【解析】
(1) 设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将表中$(-1,-5)$、$(0,1)$、$(2,1)$三点代入解析式，得：
$\begin{cases}a-b+c=-5\\c=1\\4a+2b+c=1\end{cases}$
把$c=1$代入另外两个方程，化简得$\begin{cases}a-b=-6\\2a+b=0\end{cases}$，两式相加得$3a=-6$，解得$a=-2$，将$a=-2$代入$a-b=-6$，解得$b=4$。
因此二次函数的解析式为$y=-2x^2+4x+1$。
(2) ①求$m$的值：将$x=4$代入$y=-2x^2+4x+1$，得：
$m=-2×4^2+4×4+1=-32+16+1=-15$
②求顶点坐标：对解析式配方：
$y=-2x^2+4x+1=-2(x^2-2x)+1=-2(x-1)^2+3$
因此二次函数图象的顶点坐标为$(1,3)$。
【答案】
(1) 二次函数的解析式为$\boldsymbol{y=-2x^2+4x+1}$；(2) 顶点坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$，$m$的值为$\boldsymbol{-15}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点坐标；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数一般式和顶点式的转化规则，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）求二次函数的顶点坐标，可将二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，也可直接代入顶点坐标公式计算。
（2）求$△ ABC$的面积，首先需要确定A、B、C三点的坐标：A、B是抛物线与x轴的交点，令$y=0$解一元二次方程即可得到两点坐标，进而求出底AB的长度；C是抛物线与y轴的交点，令$x=0$得到C点坐标，C点到x轴的距离即为AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）将抛物线解析式配方变形：
$y=x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4$
根据顶点式的性质，可得顶点D的坐标为$(1,-4)$。
（2）求A、B两点坐标：令$y=0$，即$(x-1)^2-4=0$，
解方程得$x_1=-1$，$x_2=3$，
$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$，则$AB=3-(-1)=4$。
求C点坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=-3$，
$\therefore C(0,-3)$，则点C到x轴的距离$OC=3$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × OC=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$。
【答案】
（1）顶点$D$的坐标为$\boxed{(1,-4)}$；（2）$△ ABC$的面积为$\boxed{6}$
【知识点】
二次函数顶点坐标求解；二次函数与坐标轴交点求法；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题的核心是熟练掌握二次函数的基本性质，能准确完成一般式到顶点式的转化，正确求解二次函数与坐标轴的交点坐标，整体计算量小，思路清晰，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8