【分析】
要求两个函数图象的交点个数，核心思路是将两个函数的解析式联立成方程组，方程组有几组不同的解，对应就有几个交点。也可先结合函数图象性质初步判断：反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象在第一、三象限，正比例函数$y=x$的图象也经过第一、三象限，初步判断两个象限各有1个交点，再通过联立方程验证即可。
【解析】
1. 联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases}y = \frac{1}{x} \\y = x\end{cases}$
2. 将$y=x$代入$y=\frac{1}{x}$中，可得$x = \frac{1}{x}$。由反比例函数的定义域可知$x ≠ 0$，两边同乘$x$得：$x^2 = 1$
3. 解方程得$x_1 = 1$，$x_2 = -1$，代入$y=x$可得对应的$y_1=1$，$y_2=-1$，即方程组有两组不同的解，对应两个交点$(1,1)$和$(-1,-1)$。
【答案】
2个
【知识点】
函数交点求解；反比例函数图象性质；正比例函数图象性质
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过联立方程求解的方式得到交点个数，也可以通过两个函数图象的分布特征快速判断，熟练掌握函数图象的性质和交点求解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查反比例函数的基础图象与性质，解题时先回忆反比例函数的定义与图象特征：首先反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$x≠0$、$y≠0$，因此图象不会与坐标轴相交，由此可确定图象的支数和名称；再根据$k$的正负判断$x$和$y$的符号关系，进而确定图象所在的象限即可。
【解析】
根据反比例函数的图象与性质：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的自变量$x$取值不能为0，函数值$y$也不能为0，因此它的图象由两支曲线组成，且与坐标轴都不相交，该图象叫做双曲线。
（1）当$k＞0$时，$x$与$y$的乘积为正，即$x$、$y$同号：$x＞0$时$y＞0$对应第一象限，$x＜0$时$y＜0$对应第三象限，因此两支曲线分别位于第一、三象限；
（2）当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负，即$x$、$y$异号：$x＞0$时$y＜0$对应第四象限，$x＜0$时$y＞0$对应第二象限，因此两支曲线分别位于第二、四象限。
【答案】
两；双曲线；（1）一、三；（2）二、四
【知识点】
反比例函数的图象特征；反比例函数的象限性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查反比例函数最核心的图象与性质，是学习反比例函数相关内容必须掌握的基础知识点，熟练掌握该内容是解决反比例函数综合题的前提。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决这个问题，我们可以结合反比例函数系数k的几何意义思考：首先设双曲线上点P的坐标，利用点在反比例函数图象上的性质得到横、纵坐标的乘积，再判断四边形PMON为矩形，矩形面积等于长乘宽，也就是点P横、纵坐标绝对值的乘积，代入计算即可得到结果。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
∵点P在双曲线$y=-\dfrac{10}{x}$上，
∴将$P(x,y)$代入函数解析式得$xy=-10$，
∵$PM⊥ x$轴，$PN⊥ y$轴，且x轴与y轴互相垂直，
∴四边形PMON是矩形，
∴矩形PMON的面积$S=|x|×|y|=|xy|$，
将$xy=-10$代入得$S=|-10|=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数中系数k的几何意义，熟记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积恒等于$|k|$，可以快速求解这类问题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路如下：首先根据反比例函数的解析式判断比例系数k的符号，明确函数图象所在的象限以及增减性；其次根据三个点横坐标的正负，判断各点所在的象限，确定对应y值的正负性，第二象限的点y值为正，第四象限的点y值为负，可得y1为正数，y2、y3为负数；最后比较第四象限内两个点的横坐标大小，结合该象限内函数的增减性，判断y2和y3的大小，最终将三个y值排序。也可以直接将各点横坐标代入解析式计算出y值后再比较大小。
【解析】
方法一：利用反比例函数性质求解
1. 对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，比例系数$k=-3＜0$，因此函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
2. 点$A(-1,y_1)$的横坐标为$-1＜0$，因此点A在第二象限，可得$y_1＞0$；
点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标均大于0，因此两点均在第四象限，可得$y_2＜0$，$y_3＜0$。
3. 第四象限内，$1＜3$，结合该象限内$y$随$x$增大而增大的性质，可得$y_2＜y_3$。
4. 由于负数小于正数，因此最终大小关系为$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入解析式计算y值：
$y_1=-\dfrac{3}{-1}=3$，$y_2=-\dfrac{3}{1}=-3$，$y_3=-\dfrac{3}{3}=-1$，
因为$-3＜-1＜3$，所以$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
$y_2＜y_3＜y_1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，解题时既可直接代入计算函数值比较大小，也可结合函数图象的象限特征和增减性快速判断，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免跨象限直接用增减性判断出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题首先利用反比例函数和正方形均关于原点中心对称的性质，可知两个不规则阴影部分可拼接为一个以原点为顶点的小正方形，其面积等于已知的阴影面积和9。接下来由小正方形面积求出边长，该边长即为大正方形的半边长，也就是大正方形右边界的横坐标。已知点P(3a,a)在正方形右边界上，其横坐标等于小正方形边长，据此可求出a的值，得到P点坐标，最后将P点坐标代入反比例函数解析式求出k值，即可得到最终的反比例函数解析式。
【解析】
∵ 反比例函数的图象关于原点中心对称，正方形也关于原点中心对称，
∴ 阴影部分的面积和等于以原点为一个顶点、边长等于大正方形半边长的小正方形的面积。
由题意得该小正方形的面积为9，
∴ 小正方形的边长为3。
∵ 点$P(3a,a)$在大正方形的右侧边上，大正方形的右边界横坐标为3，
∴ $3a=3$，
解得$a=1$，
∴ 点P的坐标为$(3,1)$。
将$P(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{3}$，
解得$k=3$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=\frac{3}{x}$
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，核心是利用中心对称性质将不规则阴影面积转化为规则正方形面积，简化计算过程，再通过待定系数法确定函数解析式，有效考查了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题的核心是利用反比例函数的图象分布规律，先确定反比例函数的比例系数的符号，再对应判断图象所在象限。首先回忆：反比例函数$y=\dfrac{a}{x}(a≠0)$中，$a＞0$时图象在第一、三象限，$a＜0$时图象在第二、四象限。因此本题只需先判断给出的函数中比例系数的正负即可得到答案。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{k^2}{x}(k≠0)$，其比例系数为$-k^2$。
$\because k≠0$，根据平方的性质，任意非零实数的平方为正数，$\therefore k^2＞0$，则$-k^2＜0$。
根据反比例函数的图象性质：当比例系数小于0时，函数图象位于第二、四象限，因此该反比例函数图象在第二、四象限，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质，平方的非负性
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，重点是掌握反比例函数图象所在象限与比例系数符号的对应关系，计算量小，易错点是容易忽略负号错判比例系数的符号。
【难度系数】
0.85